【万有引力の公式】位置エネルギーの基準を無限遠にとる理由【マイナスになる理由あり】

悩んでる人

・どうして万有引力位置エネルギーはマイナスなの？
・基準を∞点に取るのはなぜ？

今回は、上のような悩みを解決していきます！

私も、実際に『どうして位置エネルギーがマイナスなんだろう』『基準が無限なのはどうして？』と思っていましたが、しっかり基本がわかれば難しい話ではありませんでした！

同じような悩みを抱えている人は、この記事を読めばスッキリ解決できますよ。

まずは重力の位置エネルギーを復習！

まずは、簡単に重力による位置エネルギーについて復習しましょう。

重力による位置エネルギーは、高さをhとすれば

$$mgh$$

と表すことができました。

また、\(mgh\)のエネルギーを持つ物体は、
『基準に戻るまでに重力が\(mg×h\)の仕事をする能力を持っている』ということができます！

例えば、地表からビルに上ってバンジージャンプをすれば、自分が上った分だけ、重力によって地表に戻されるよね！

塾長

万有引力の位置エネルギーを証明＆導出

万有引力による位置エネルギーは、基準を無限遠点にとると、以下のようにあらわすことができます！

これを導くことで、今回の疑問は2つとも解決できますよ！

まずは、以下の点に気を付けながら作図しましょう！

さて、エネルギーは一般的に（力）×（距離）で求められますが、力が一定でない場合は、この公式は使えません。

悩んでる人

万有引力の大きさは、2物体との距離によって変化するから、この求め方はできませんね。

そんな時は、積分を使って求めるしかないんだ！

塾長

万有引力による位置エネルギーは、A点からB点（基準）に戻るまでに万有引力がする仕事に等しく、

$$V=\int_r^{r_0}-G\frac{Mm}{x^2} dx$$

となります！

式の立て方は、弾性力の位置エネルギーのときにやったね！

塾長

悩んでる人

積分の計算が難しそう・・・

大丈夫！変化するのは分母にある\(x^2\)だけだから、\(\frac{1}{x^2}\)を\(x^{-2}\)にして積分してごらん！

塾長

あ、なんかできそうです！

$$V=\int_r^{r_0}-G\frac{Mm}{x^2} dx$$

$$=\left[GMm\frac{1}{x}\right]^{r_0}_r$$

$$=G\frac{Mm}{r_0}-G\frac{Mm}{r}$$

となります！

これが、基準を\(r_0\)にとったときの位置エネルギーだけど、このままの形では、式が長くて使いづくないかい？

塾長

あ！だから位置エネルギーの基準を∞にとるんですね！

その通り！基準の\(r_0\)を∞に変えると、分母が∞になってその項は0とみなすことができるんだ！

塾長

$$V=G\frac{Mm}{r_0}-G\frac{Mm}{r}$$

$$=G\frac{Mm}{∞}-G\frac{Mm}{r}（r_0を∞にする）$$

$$=0-G\frac{Mm}{r}$$

$$=-G\frac{Mm}{r}$$

これが、∞遠点を基準にとった、万有引力による位置エネルギーです！

つまり、まとめると以下のようになります。

これが、基準を無限にとり、位置エネルギーにマイナスがつく理由だったんですね！

まとめ：万有引力の位置エネルギーがマイナスなのは基準が無限遠だから

今回は、万有引力による位置エネルギーについて話してきました！

以上2つの理由がもうわかりましたよね？

このように、物理はただ単に問題を解いたり、公式を暗記するだけでは、成績も伸びませんし理解も深まりません！

公式が出てきたときには、導出もあわせて勉強していくことが大切ですので、しっかりと頭にいれて勉強していきましょう。