・交流回路、わからなくて泣きそうです、、
電磁気の分野は、『電場・電位』で一度心を折られ、『電磁誘導』で二度目、そして『交流』で心が粉砕します。
僕も、現役生のときは、物理のエッセンスを読んで頑張っていましたが、今読み返してみると、ほんとただのテクニック本やなあ、と思います。
そこで今回は、『コンデンサーと交流』について話していきます。
結論から言ってしまうと、交流でも直流でもやることは同じなので、何も難しくはありません！
この記事を読めば、『交流回路にコンデンサーつながっても簡単やん！』ってなりますよ。
前回の記事は【差がつく！】交流回路で抵抗が繋がった問題の解き方を解説【簡単です】を参考にどうぞ。
✔この記事の内容
・交流回路が難しいわけ
・交流回路におけるコンデンサーのふるまい
✔この記事の信頼性
苦手だった物理を、浪人時に偏差値65以上センター試験満点近くまで伸ばした、参考書には書かれていない、考え方や勉強法について、必要なエッセンスを『ぎゅっと』凝縮してまとめています。
【電磁気の分野の注意点】
極力微積は使わないように説明していますが、電磁気の分野では微積を使うことで理解が深まる場所は、微積を使っています。
微積といっても、数Ⅱ数Ⅲの教科書例題レベルなので、身構えなくても大丈夫です！
【例】
・\(v=\frac{dx}{dt}\)
・・・（分子）の（分母）変化と読む。今回は、（位置）の（時間）変化なので、速度のこと
・\(a=\dot{v}=\ddot{x}\)
・・・ドットで微分を表す。２回微分であれば、ドットの数は2つ。
交流回路が難しく感じるのは位相がずれるから
抵抗と交流のところでも話しましたが、交流が難しく感じる原因は『交流回路は位相が変化するから』です。
位相は、sin〇〇,cos〇〇の角度のところだよ！
交流回路では、電源電圧の大きさや向きが時間変化するので、流れる電流もコロコロ変化してしまうのです。
それが原因で、コイルやコンデンサー、抵抗は直流回路とは違った振る舞いをします。
では、どんな振る舞いをするのか、今回は、コンデンサーについて見ていきましょう。
コンデンサーがある交流回路の解き方
では、電圧と電流の位相のずれを見るために、コンデンサーを流れる電流を求めていきましょう！
まずは、交流電源とコンデンサーを導線でつなぎます。
交流でも直流でも、回路問題の解き方は『手順』が決まっていました。
回路問題の解き方
➁オームの法則を使って抵抗にある未知数を求める
➂回路方程式を立てて、電荷や電流を求める
※回路方程式とは、キルヒホッフの法則（電流保存、電位1周で電位差0）や電荷保存の式のこと
さて、交流電源とコンデンサーをつないで、上の➀➁を描き込むと下のようになります。
交流電源の電圧の向きも、適当に決めてしまってOKだよ！
・電荷保存の式⇨コンデンサーが2つ以上無いから使わない
・電流保存の式⇨回路の中に分岐がないから使わない
上のように考えると、➂の手順では、『電位差1周して0』しか使えないので、図を見ながら式を立てると、
$$v_0sin\omega t=\frac{q}{C}・・・➀$$
となります。
式は１本だけですか、、？
式が、1本しかないと電流は求まらないね。こういう時は、電荷保存の式（時間変化ver）を使っていくよ！
今回、コンデンサーの\(+q\)の方に電流が流れ込んでいるから、『充電』方向、つまり上の電荷保存の式はプラスで書くので、
$$i=+\frac{dq}{dt}・・・➁$$
となります。
$$v_0sin\omega t=\frac{q}{C}・・・➀$$$$i=+\frac{dq}{dt}・・・➁$$
電流を求めたいので、➁式に➀式の\(q\)を代入すると
$$i=+\frac{dq}{dt}$$$$=+\frac{d}{dt}(Cv_0sin\omega t)$$$$=C\omega v_0cos\omega t$$（\(sin\omega t\)を\(t\)で微分）$$=\omega Cv_0sin(\omega t+\frac{\pi}{2})$$（sinをcosに変換:数Ⅰ数Ⅱ参照）
数Ⅲと三角関数の基本問題ができれば解けるはずだよ！
逆にできない人は、数学が危ないと思ってほしい！！
さて、これで電流が出てきたので、『電源電圧』と『回路を流れる電流』を比較してみましょう！
$$v=v_0sin\omega t$$$$i=\omega Cv_0sin(\omega t+\frac{\pi}{2})$$
あ！電流の方が電圧よりも、位相が\(\frac{\pi}{2}\)だけ早く進んでいます！
そうだね！つまり、コンデンサーでは電流が先にきて、その次に電圧がかかるということなんだ！
ココがポイント
\(v=v_0sin\omega t\)と\(i=\omega Cv_0sin(\omega t+\frac{\pi}{2})\)のグラフを描いてみると下のようになります。
確かに、 『電流の最大値』→『電圧の最大値』の順番ですね！
イメージとしては、スマホの充電を思い浮かべてほしくて、プラグに差し込んだ瞬間に充電は満タンにならないよね？電流が流れてから、充電される（電圧がかかる）順番なんだ！
さらっと導出していますけど、この導出は何も見ずにできるようにしておきましょう！！
交流コンデンサーのインピーダンスとは？
交流回路には、直流回路における抵抗と同じような働きをする『インピーダンス』（単位はΩ）というものがあります。
インピーダンスは大きくなればなるほど、電流が流れにくくなるんだ！
インピーダンスは、抵抗と同じように『オームの法則』と同じ形で求めることができます。
インピーダンスの求め方
インピーダンスを求める時は、最大値を使うか、実効値を使うか『どちらか統一』して使いましょう！
\(v=v_0sin\omega t\) と \(i=\omega Cv_0sin(\omega t+\frac{\pi}{2})\)の最大値は、sin,cosの前にある数なので、\(v_0\) と \(\omega Cv_0\)です。
最大値を使ってインピーダンスを求めると、
$$X_e=\frac{（電圧の最大値）}{（電流の最大値）}$$$$=\frac{v_0}{\omega Cv_0}$$$$=\frac{1}{\omega C}$$
となります。
交流コンデンサー回路では、$$\frac{1}{\omega C}$$ が抵抗みたいなものになるんですね！
"コンデンサーの容量"という言葉があることから、$$\frac{1}{\omega C}$$ のことを、容量リアクタンスというよ！
容量リアクタンスは、上のように導出できるようにしておくとともに、ぱっと書けるようにしておこう！
まとめ：コンデンサーがある交流回路は難しくない！
今回は、交流回路とコンデンサーの関係について話してきました。
交流の問題を解けるようにするために、大切なことは以下の3つです。
ココがポイント
➁容量リアクタンスは\(\frac{1}{\omega C}\)
➂上の2つを導出できるようにしておく
これができるようになれば、交流回路を理解できるようになるので、まずは手を動かして、上の3つをできるようにしていきましょう。
今回は以上です。
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