コイルの自己誘導・相互誘導とは？インダクタンスの導出を例題とともにわかりやすく解説

悩んでる人

自己誘導と相互誘導って何ですか？

コイル（導線）は、自分の中を貫く磁束の変化を、とてつもなく嫌うのでした。

今回は、そんな自己誘導・相互誘導の話をしていきます。

この記事を読めば、『自己・相互インダクタンスの導出』ができますので、最後まで見ていきましょう！

前回の記事は【難関大必須】ファラデーの法則を完全理解【問題の解き方を徹底解説】を参考にどうぞ。

コイルの自己誘導・相互誘導は漫才コンビ

悩んでる人

自己誘導・相互誘導が漫才コンビってどういうことですか？

まずは、自己誘導から説明していきます！

その①：自己誘導はおっちょこちょい！

コイルに電流を流すと、右ネジが回る方向に対して、磁場が発生しました！

その大きさは、単位長さ当たりのコイルの巻き数をnとした時に$$H=nI$$と書けましたね。

つまり、コイルに電流が流れると、自分自身で磁場を作ります。

もともと磁場がなかったところに、コイルが自分で磁場を変化させると、どうなるかな？

塾長

あ！変化を妨げる方向に電磁誘導が起こりました！

コイルは、環境の変化を嫌うので、直前の環境（磁場が0の状態）に戻そうと、自分で磁場を作り出します！

このように、『やっぱ前の環境がいい！』と言って、自分で作り出した磁場を、電磁誘導で消そうとすることを、自己誘導といいます。

自分で増やした磁場を、すぐ消そうとするなんて、おっちょこちょいにもほどがあるね。

塾長

その②：相互誘導は相方の巻き添え

悩んでる人

相方の巻き添えって何ですか？

さっきのおっちょこちょい者の隣にいた、もう一人のコイル君も、実は被害を受けているんだ！

塾長

ただ隣にいた『コイル2』も、コイル1が作り出した磁場を受けて環境が変化してしました。

もちろん、コイルは環境の変化が嫌いなので、コイル2は『マジやめてくれ！』というわけですね！

相方の巻き添えを食らったコイル2も、すかさず磁場の変化を妨げる向きに、磁場を作り出して相方の出した磁場を減らすのです。

このように、自分は何もしていないのにも関わらず、相方のせいで自分も磁場を作ることを、相互誘導といいます。

悩んでる人

相互誘導、かわいそうすぎます・・

つまり、自己誘導と相互誘導はセットで、自己誘導はおっちょこちょい、相互誘導は相方の巻き添えを食らうと覚えておきましょう！

自己誘導・相互誘導による誘電起電力の大きさ

自己誘導・相互誘導ともに、電磁誘導を起こして、自分自身のコイル内の磁場の変化を妨げる向きに、磁場を作るのでした。

それでは、どれくらいの誘電起電力が発生するのか、例題とともに見ていきましょう。

この問題は、入試問題としても出題されるし、電磁誘導の練習にもなるから、紙とペンを用意してしっかり練習しよう！

塾長

例題

断面積S、透磁率$\mu$の鉄心に図のように2つのコイルがまかれている。コイル1に流れる電流を$I$とするとき、以下の問いに答えよ。

（1）鉄心内の磁束密度を求めよ。

次に電流$I$を時間$\mathrm{\Delta }t$の間に$\mathrm{\Delta }I$だけ変化させた。

（2）コイル1に生じる誘電起電力$V_1$を求めよ。ただし、左側の回路に時計回りに電流を流そうとする向きを$V_1$の正方向とする。

（3）コイル2に生じる誘電起電力$V_2$を求めよ。ただしPからQに向かう方向を正方向とする。

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう！自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります！

問題の解答：自己誘導相互誘導

（１）の解答

ソレノイドコイルに電流を流すと、右ネジが回る方向に対して、磁場が発生しました！

その大きさは、単位長さ当たりのコイルの巻き数をnとした時に$$H=nI$$と書けましたので、単位長さ当たりの巻き数$n=\frac{N_1}{l}$であることに注意して、

$$B=\mu H$$$$=\mu \frac{N_1}{l}I\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}（\mathrm{答}\mathrm{え}）$$

（２）の解答

例題

断面積S、透磁率$\mu$の鉄心に図のように2つのコイルがまかれている。コイル1に流れる電流を$I$とするとき、以下の問いに答えよ。

次に電流$I$を時間$\mathrm{\Delta }t$の間に$\mathrm{\Delta }I$だけ変化させた。

（2）コイル1に生じる誘電起電力$V_1$を求めよ。ただし、左側の回路に時計回りに電流を流そうとする向きを$V_1$の正方向とする。

電磁誘導が起こりますので、まずは磁束と誘電起電力の正方向を、右ネジの関係で決めましょう！

塾長

※磁束と誘電起電力の正方向を、右ネジの関係で決めるやり方を知らない人は、【ファラデーの法則の完全版！高校物理の電磁誘導を徹底解説【難関大に対応！！】】をご覧ください。

今回は、問題文に『時計回りに電流を流そうとする向きを起電力の正方向とする』とあるため、$V_1$を図の向きに決めてから、磁束の正方向を右ネジの関係になるように決めました。

コイル1が作る全磁束は、$${\mathrm{\Phi }}_1=+BS\times N_1\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{り}\mathrm{ま}\mathrm{す}。$$$$（\mathrm{プ}\mathrm{ラ}\mathrm{ス}\mathrm{は}、\mathrm{磁}\mathrm{束}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{と}\mathrm{同}\mathrm{じ}\mathrm{向}\mathrm{き}\mathrm{だ}\mathrm{か}\mathrm{ら}）$$

$+BS$は、単位長さ当たりが作る磁束なので、コイル1が作る全磁束は、$N_1$倍しなくてはいけないことに注意です。

（１）の答え$$B=\mu \frac{N_1}{l}I\mathrm{を}\mathrm{代}\mathrm{入}\mathrm{し}\mathrm{て}$$$${\mathrm{\Phi }}_1=+BS\times N_1$$$$=\frac{\mu {N_1}^{2}S}{l}I$$

ファラデーの法則に、上で求めた全磁束を代入すると、$$\therefore V_1=-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_1}{dt}$$$$=-\frac{\mu {N_1}^{2}S}{l}\times \frac{dI}{dt}$$$$=-L\frac{dI}{dt}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}（\mathrm{答}\mathrm{え}）$$

答えの中にある$L$は自己インダクタンス [H:ヘンリー]という定数だよ！

塾長

（３）の解答

例題

断面積S、透磁率$\mu$の鉄心に図のように2つのコイルがまかれている。コイル1に流れる電流を$I$とするとき、以下の問いに答えよ。

次に電流$I$を時間$\mathrm{\Delta }t$の間に$\mathrm{\Delta }I$だけ変化させた。

（3）コイル2に生じる誘電起電力$V_2$を求めよ。ただしPからQに向かう方向を正方向とする。

(３)は、問題文に『PからQの向きを起電力の正方向とする』とあるため、$V_2$を図の向きに決めてから、磁束の正方向を右ネジの関係になるように決めました。

コイル2が作り出す全磁束は、$${\mathrm{\Phi }}_2=+BS\times N_2\mathrm{で}\mathrm{す}。$$$$（\mathrm{プ}\mathrm{ラ}\mathrm{ス}\mathrm{は}、\mathrm{磁}\mathrm{束}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{と}\mathrm{同}\mathrm{じ}\mathrm{向}\mathrm{き}\mathrm{だ}\mathrm{か}\mathrm{ら}）$$

$+BS$は、単位長さ当たりが作る磁束なので、コイル2が作る全磁束は、$N_2$倍しなくてはいけないことに注意です。

（１）の答え$$B=\mu \frac{N_1}{l}I\mathrm{を}\mathrm{代}\mathrm{入}\mathrm{し}\mathrm{て}$$$${\mathrm{\Phi }}_2=+BS\times N_2$$$$=\frac{\mu N_1{N}_{2}S}{l}I$$

ファラデーの法則に、上で求めた全磁束を代入すると、$$\therefore V_2=-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_2}{dt}$$$$=-\frac{\mu N_1{N}_{2}S}{l}\times \frac{dI}{dt}$$$$=-M\frac{dI}{dt}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}（\mathrm{答}\mathrm{え}）$$

答えの中にある$M$は相互インダクタンス [H:ヘンリー]という定数だよ！

塾長

まとめ：自己誘導・相互誘導は自分で導出できるようにしよう！

今回は、自己誘導・相互誘導について詳しく紹介しました！

この範囲は、電磁誘導と絡んで苦手な人が増えてきますが、しっかり導出できればそんなに難しくはありません。

何度も手を動かして、何も見なくても描けるようになるまで練習しておきましょう！

今回は以上です。

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