【6割以上が騙される】物理の軽い糸問題に隠された秘密とは！？

悩んでる人

すごい、見出しが気になるんですけど、、、

よく問題に糸が出てくるけど、ほとんどが『軽い糸』って書いてないかな？

塾長

悩んでる人

言われてみれば書いてありますね

じゃあ、下の問題のような場合、君ならどうする？？

塾長

例題

2つの物体を接触させた状態で、滑らかな床の上に置いた。物体Aの質量をm、物体Bの質量をMとする。左側にある物体Aと物体Bを質量wのロープでつなぎ、物体Bを図の向きにFの大きさで引っ張った。このとき、全体の加速度の大きさはいくつになるか。また、A,Bにかかる糸の張力の大きさは、それぞれいくつか。

先生！馬鹿にしないでくださいよ！答えはこうです！！

ああ。やってしまったね。どこが間違っているか、君はわかるかい？

塾長

まだ前回の記事を読んでいない人は、以下の記事を参考にしてみてください。

関連記事運動方程式をあなたは本当に理解できてる？？運動方程式を理解して力学の点数を爆上げする

例題

例題

2つの物体を接触させた状態で、滑らかな床の上に置いた。物体Aの質量をm、物体Bの質量をMとする。左側にある物体Aと物体Bを質量wのロープでつなぎ、物体Bを図の向きにFの大きさで引っ張った。このとき、全体の加速度の大きさはいくつになるか。また、A,Bにかかる糸の張力の大きさは、それぞれいくつか。

普通、物理の問題の99％は、糸が出てきても『軽い糸』を使うので、糸の質量は0とみなしても良いのです。

しかし、今回は、質量wのロープと書いてあるため、『糸自体も質量を持つ』ということになります。

ここで、運動方程式を思い出してください。

$$\LARGE m\vec{a}=\vec{F}$$

運動方程式は、着目物体の質量mが0であれば、立てる必要がなくなりますが、今回ロープは質量wを持ちます。

なので、今回はこの糸（ロープ）も着目物体として、運動方程式を立てなくてはいけないのです！

なので、ロープが物体A,Bそれぞれから引っ張られる力が、必ず等しくなるとは限らないのです！

問題の解法

力学の問題の初めは、必ずこれでしたよね！

今回の問題には、重力や垂直抗力が絡んでこないので、図がごちゃごちゃするのを防ぐために省略します。

はい！それでは、上の方法で力を描いていきましょう！

着目物体の数だけ図を描く！

今回、ロープも着目物体に入るので、図は3つです！

着目物体を実線で、隣接している物体は点線で描きました！

他物体との接触点に印をつけ、そこを根本として、物体が受ける接触力のみを描く！

力を描き込むときには、『着目物体が受ける力』を描きましょう！

『受ける力』だから、引っ張られる、見たいに隣接している物体から受ける力を描けばいいんだね！

そうだね！そして今回は、ロープが物体A,Bから受ける力を\(T_1,T_2\)としたよ！

塾長

運動方程式を立てる！

まずは、加速度方向に軸を立てますが、今回は右向きに動くので、右方向を正方向としましょう！

塾長

図を見て、軸と同じ方向の力はプラス、逆ならマイナスとして考えればいいので、

・物体Aについて$$ma=T_1・・・➀$$

・物体Bについて$$Ma=F-T_2・・・➁$$

・ロープについて$$wa=T_2-T_1・・・➂$$

➀➁➂すべてを足すと、

$$a=\frac{F}{M+m+w}$$

➀より

$$T_1=\frac{mF}{M+m+w}$$

　➁より

$$T_2=\frac{(m+w)F}{M+m+w}$$

となります！

ロープ（質量のある糸）の両側にかかる張力は？

さっきの答えを見てみよう！

塾長

$$T_1=\frac{mF}{M+m+w}$$

$$T_2=\frac{(m+w)F}{M+m+w}$$

あ！！ロープの両側にかかる張力が違います！

これでわかったね！糸が質量を持っているときは、両側の張力を勝手にTとか置いちゃダメなんだ！

塾長

それじゃあもし、糸の質量がない（軽い糸）だったら？

ロープについて立てた、➂の式を見てごらん！

塾長

$$wa=T_2-T_1・・・➂$$

もし、ロープに質量がなければw=0になるから、➂にそれを代入すると、、、

塾長

あ！\(T_1=T_2\)になります！

これでやっと、軽い糸だと両側で張力が等しくなるってわかったね！

塾長

まとめ

今回は、『糸に質量があったら』どうなるかということについて考えてきました！

まとめると、以下のようになります！

何でもないようなことですが、他の受験生と差がつくところなので、しっかりとできるようにしておこう！