熱力学 物理

【裏ワザ】熱力学の解き方はたった4パターン【ばねつきピストンを例に解き方を解説】


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悩んでる人

熱力学の問題が解けない
・どのを立てたらいいかわからない
・問題の解き方がわからない

今回は、そんな悩みを解決していきます。

熱力学の範囲では、さまざまな式が登場するので、問題を解くときにどの式を使っていいかわからなくなりますよね。

私も、以前は同じように苦しんでいたのですが、解法がたった4つに絞られることがわかってから、熱力学の問題で間違えたり、まったく解けないといったことはなくなりました。


皆さんもこの記事を読めば、私と同じような思考を持つことができるので、しっかりと勉強していきましょう。


✔この記事の内容
・熱力学の式の立て方は4つのみ!
・特殊な気体の状態方程式の立て方
・問題を解くうえで、初めにやること

✔この記事の信頼性
浪人時に苦手だった物理を、記述模試偏差値65以上、センター試験満点近くまで伸ばした『考え方』や『解き方』について、大切なエッセンスを『ぎゅっと』凝縮してまとめています。

【高校物理】熱力学の解法パターンはたった4つ!

力学の問題の解き方のフローシートでもやりましたが、熱力学の解き方もやるべきことが決まっています!

※力学のフローシートはこちらから無料配布しています。



熱力学の解き方

状態方程式
運動方程式(つり合いの式)
エネルギー収支(熱力学第一法則)
ポアソンの式(断熱かつ熱平衡のとき)

熱力学の問題は、基本的に上の4つのみで解くことができます!

では、実際に問題を解いていきましょう。



例題:ばねつきピストン

例題

断面積がSのシリンダーが鉛直に立ててある。ピストンとシリンダーの底とは自然長がhのばねでつながれている。また、シリンダー交換の底から測って高さhのところに、ストッパーsがある。このシリンダー内にある量の単原子分子の理想気体を、大気圧\(p_0\)と同じ圧力になるまで封入した。この時、ピストンはストッパーの位置にあり、絶対温度は\(T_0\)であった(状態1)。次に、シリンダー内をゆっくり加熱したところ、温度が\(2T_0\)になったところで、ピストンが上昇し始めた(状態2)。さらに加熱したところ、温度が\(6T_0\)となったとき、ピストンは\(\frac{h}{2}\)だけ上昇した(状態3)。

(1)ピストンの質量を求めよ、ただし、重力加速度の大きさを\(g\)とする。
(2)状態1から状態3まで気体のした仕事を、\(p_0,S,h\)で表せ。
(3)状態1から状態3までに加えられた熱量を、\(p_0,S,h\)で表せ。
(明快解法講座を改題)

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう!自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります!



熱力学の問題を解く前にやること!

まずは、各状態におけるP,V,n,Tを図示しましょう。

この時、未知数(自分で置いた文字)は、〇で囲んでおきましょう!

塾長

上のように、各状態における力も描き込んでしまいましょう!

つぎに、どの式を立てるか考えます。



熱力学の解き方

状態方程式
運動方程式(つり合いの式)
エネルギー収支(熱力学第一法則)
ポアソンの式(断熱かつ熱平衡のとき)

熱力学は、以上4つの式のみを考えればいいので、それぞれについて考えていきましょう。


今回の変化は、断熱変化ではないので、➃のポアソンの式は、使うことができません。

なので、まずは➀➁の状態方程式とつり合いの式を立てていきます。



その①:状態方程式

$$nR=\frac{p_0Sh}{T_0}=\frac{p_1Sh}{2T_0}=\frac{p_2S\frac{3}{2}h}{6T_0}$$
(定数)=(状態1)=(状態2)=(状態3)

その②:つり合いの式

$$(状態2)p_1S=p_0S+Mg$$$$(状態3)p_2S=p_0S+Mg+k\frac{h}{2}$$


悩んでる人

気体の状態方程式が見たことない形で書かれているのですが、、

気体の状態方程式は、各状態をつなぐ式で、今回はずっとモル数が変化しないから、すべての式をつなぐことができるんだ!

塾長

気体の状態方程式をつないで書くことで、計算しやすい部分同士で計算できるようになります!

ココがポイント

気体の状態方程式は、各状態同士でつないで書くこと!

(1)の解答:熱力学の問題

$$nR=\frac{p_0Sh}{T_0}=\frac{p_1Sh}{2T_0}=\frac{p_2S\frac{3}{2}h}{6T_0}$$
(定数)=(状態1)=(状態2)=(状態3)

ピストンの質量を求めていきます。状態1と状態2の式から

$$p_1=2p_0・・・➀$$

となります。

つり合いの式、

$$(状態2)p_1S=p_0S+Mg$$

に➀を代入して、

$$2p_0S=p_0S+Mg$$$$\therefore M=\frac{p_0S}{g}・・・答え$$

となります。



(2)の解答:熱力学の問題

状態1から状態3までの間に、気体がした仕事は、1から2が定積変化で仕事をしないことから、2から3までの仕事と等しくなります。

注意することは、状態2から3の間で、気体の圧力が変化することだよ!

塾長

ココに注意

気体の圧力が変化するときの仕事は状態図(p-Vグラフ)をかく!



気体の状態方程式の状態1、3から、\(p_2=4p_0\)であることがわかります!

オレンジの部分が気体がした仕事なので、台形の面積を求めると、

$$(2p_0+4p_0)×\frac{1}{2}Sh×\frac{1}{2}$$$$=\frac{3}{2}p_0Sh・・・答え$$

となります。

(3)の解答:熱力学の問題

状態1から状態3までの間に、加えられた熱量は、熱力学第一法則に基づいて考えることができますね!

熱力学第一法則

$$Q_{in}=\Delta u+W_{out}$$(食った分)=(脂肪として蓄積)+(外部にした仕事)

内部エネルギー変化は、今回単原子分子なので、$$\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T$$と考えることができます。

各状態の温度変化に注意して、内部エネルギー変化と、仕事について書くと、上のようになります。



答えに、n,Rは使ってはいけないので、気体の状態方程式$$nR=\frac{p_0Sh}{T_0}$$を使って書き替えると、以下のようになります。

この表から、\(Q_{in}\)を求めると、

上のようになります。


よって、吸熱の合計は、

$\frac{3}{2}p_0Sh+\frac{15}{2}p_0Sh=9p_0Sh・・・答え$$$

となります。



まとめ:熱力学は解き方が決まっているので簡単!

今回は、熱力学の解法について話してきました。

大切なのは、熱力学で立てるべき式は4つしかないということです!

熱力学の解き方

状態方程式
運動方程式(つり合いの式)
エネルギー収支(熱力学第一法則)
ポアソンの式(断熱かつ熱平衡のとき)

上に加えて、

・気体の状態方程式はつなげて書く!
・それぞれの状態に合わせて図を描く!

ことも大切なので、上のことを意識しながら問題を解いてみましょう!

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しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

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