力学 物理

【物理】ばねが2つ連結した問題の解き方【ヒント:バネを分けて考える】


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悩んでる人

弾性力の大きさってどうやって求めればいいの?
・ばねの問題が苦手
・弾性力の向きがイマイチわからない

今回は、こんな悩みについて解決していきます。

簡単な問題だと解ける人が多い、ばねの問題ですが、ばねの両端に物体がついたり、ばねが2つついたりすると解けなくなる人が非常に多くなります。

今回の内容で、ばねの基本をしっかり押さえて、ばねの問題に強くなりましょう!

また、ばねに強くなるだけで、後から勉強する『単振動』にも強くなりますので、頑張っていきましょう。

弾性力はばねが自然長に戻ろうとする力!

弾性力とは、ばねが自然長の長さに戻ろうとする力のことで、その大きさは自然長からの変位\(x\)に比例し、
$$F=kx(k:ばね定数)$$と表すことができます。

そして、弾性力の向きは、必ず自然長の長さに戻ろうとする方向に働きます!

ポイント

$$【力の大きさ】F=kx(k:ばね定数)$$$$【向き】自然長に戻ろうとする方向$$

早速、問題を解いて練習していこう!

塾長

例題:ばね問題の解き方

例題

ばね定数が\(k_1,k_2\)の2つのばねをつなぎ、質量mのおもりPをつるして静止させた。
(1)\(k_1\)のばねの伸び\(x_1\)を求めよ。
(2)\(k_2\)のばねの伸び\(x_2\)を求めよ。
(3)2つのばねを1本のばねと見た時のばね定数\(k_t\)を求めよ。

(物理のエッセンスより引用)

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう!自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります!

それでは解説していくよ!

塾長

(1)の解答

例題

ばね定数が\(k_1,k_2\)の2つのばねをつなぎ、質量mのおもりPをつるして静止させた。
(1)\(k_1\)のばねの伸び\(x_1\)を求めよ。

考え方

力の描き方の手順に沿って力を描いていく!

力の描き方は、以下の手順で書くのでしたね!

力の描き方

1.着目物体の数だけ図を描く!

2.場から受ける力(重力や静電気力)を描き込む!

3.他物体との接触点に印をつけ、そこを根本として、物体が受ける接触力のみを描く!

まずは、こんな感じで、図をいくつか書いてみましょう!

横並びで図を描くことで、自然長からの変位がわかりやすくなります!

まずは、この図に\(k_1\)のばねの力を描いていきます。ボールに働く力は、

となります!(着目物体以外は、色を薄くしています。)

そして、物体は静止しているので、つり合いの式から

$$k_1x_1=mg$$$$\therefore x_1=\frac{mg}{k_1}$$

(2)の解答

例題

ばね定数が\(k_1,k_2\)の2つのばねをつなぎ、質量mのおもりPをつるして静止させた。
(2)\(k_2\)のばねの伸び\(x_2\)を求めよ。

上と同じように、力を描いていきます!

さっきは、ボールを着目物体にして力を描いてきましたが、次は\(k_1\)のばねに働く力を描いていきます。

着目物体が受ける力は、上のように描け、静止していることからつり合いの式を立てると、

$$k_2x_2=mg$$$$\therefore x_2=\frac{mg}{k_2}$$

となります。

(3)の解答

例題

ばね定数が\(k_1,k_2\)の2つのばねをつなぎ、質量mのおもりPをつるして静止させた。
(3)2つのばねを1本のばねと見た時のばね定数\(k_t\)を求めよ。

考え方!

一本のばねとして考えた時の図と、比較して考える!

上のように2つのばねを1本とみると、合計で\((x_1+x_2)\)だけ伸びていることがわかります。

ボールにかかる力のつり合いの式を立てると、

$$k_t(x_1+x_2)=mg$$

(1)(2)の答え、\(x_1=\frac{mg}{k_1}x_2=\frac{mg}{k_2}\)を代入すると、

$$k_t(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2})=1$$$$\therefore k_t=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}$$

となります。

まとめ:ばねの問題を解くときはばねを分けて考える!

今回は、弾性力とばねの使い方について話してきました。

まとめておくと、以下のようになります。

ポイント

$$【力の大きさ】F=kx(k:ばね定数)$$$$【向き】自然長に戻ろうとする方向$$

\(x\)が自然長からの変位ということと、向きが必ず自然長方向になることの2つを覚えておけば、ばねの問題は間違えることがなくなります!

力をしっかり描けるようになることが、力学の問題で安定して点数をとるコツなので、しっかりと自分で力を描く練習をし置きましょう。

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しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

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