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ガウスの法則の4πkQ本って何?!例題を用いてガウスの法則の定義から条件を徹底解説


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悩んでる人

先生!ガウスの法則の4πkQ本って何ですか?

4πkQ本は、『任意の閉曲面内にある、電荷Qから湧き出す電気力線の本数』だよ!

塾長

ガウスの法則で、『4πkQ本って何??』と思った経験ありませんか?

そこで今回は、『どうして4πkQ本になるのか』について例題を絡めて詳しく説明していきます!

⇩前回の電気力線の記事をまだ見ていない人は、先にこちらを見るのをお勧めします。

電気力線と電場の関係

前回の内容で、電気力線は、『電場を視覚化したもので、\(+1\)クーロンが、電場から\(F=qE\)の力を受けて移動した道筋』でしたね!

しかも、電気力線には、以下のような特徴がありました。

電気力線の特徴!

1.途中で枝分かれしない

2.電気力線の向き=電場の向き

3.電気力線は、+からでて-に入る

電気力線から、電場の向きがわかるんでしたね!

そうだね!しかも電場の強さも電気力線からわかったよね。

塾長

同じ面積で囲ってあげた時に、電気力線の本数が多いと、電場も強いんですよね!

その通り!ある部分ではなく、\(1m^2\)で囲った部分の電気力線の本数を、ガウスの法則というよ!

塾長

電気力線とガウスの法則は、密接につながっています!

では、ガウスの法則とはどのような法則なのでしょうか。



電場のガウスの法則

電場のガウスの法則の定義は、以下の2つになります!

定義は物理において、非常に重要なのでしっかり覚えておこう!

塾長

ガウスの法則

・\(1m^2\)あたりの電気力線の本数=その点の電場の強さ

・任意の閉曲面から湧き出す電気力線の本数は、閉曲面の電荷のみに比例し、

$$4{\pi}k_0Q本=\frac{Q}{\varepsilon_0}本$$

\(k_0=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\)で、\({\varepsilon_0}\)のことを真空の誘電率というよ!

塾長

上の法則で、覚えておくべきことは、『電荷Q』を『真空の誘電率\({\varepsilon_0}\)』で割ると、電気力線の本数になるということです!

それでは、これを導出していきましょう!

塾長



ガウスの法則の導出

以下の例題を使って、ガウスの法則を導出していきます!

大切な導出ですので、必ず自分で手を動かしてやりましょう。

例題

クーロンの法則の比例定数を\(k_0\)とする。\(+Qの正電荷からrだけ離れた点の\)電場の強さ\(E=k_0\frac{Q}{r^2}\)を用いて、正電荷からわきだす電気力線の本数を求めよ。

※答えを見る前に、まずは自分で考えてみましょう!

悩んでる人

なんか難しそうなんですけど、、、

大丈夫!まずは電場と電気力線の関係から復習しよう!

塾長

そもそも電場と電気力線の間には、\(1m^2\)あたりの電気力線の本数=その点の電場の強さという関係がありました。

点電荷は本来、2次元ではなく3次元です!

上の画像のように、電荷の中心から距離rだけ離れた場所の電場の強さは\(E=k_0\frac{Q}{r^2}\)ですから、黄色の\(1m^2\)で切り取ると、\(1m^2\)あたりの電気力線の本数になります!

$$E×1m^2本=k_0\frac{Q}{r^2}×1m^2本=(電気力線の本数)$$

となります。

これは、あくまで\(1m^2\)あたりの電気力線ですから、正電荷から湧き出す電気力線の本数が知りたければ、正電荷をすべて囲ってあげる必要があります

では、正電荷を距離rの部分で囲うと、面積はいくつかな?

塾長

正電荷は球なので、半径rの球の表面積\(4{\pi}r^2\)です!

\(1m^2\)あたりの電気力線の本数は、

$$E×1m^2本$$

でしたので、\(4{\pi}r^2\)あたりの電気力線の本数(=正電荷から湧き出す電気力線の総本数)は、

$$E×4{\pi}r^2本=k_0\frac{Q}{r^2}×4{\pi}r^2本$$

$$=4{\pi}k_0Q本$$

となります。

あ!\(4{\pi}k_0Q本\)がでてきました!

\(1m^2\)あたりの電気力線の本数=その点の電場の強さという関係がわかっていれば、導出できるよね!

塾長

任意の閉曲面から湧き出す電気力線の本数は、閉曲面内の電荷のみに比例とは?

ガウスの法則

・\(1m^2\)あたりの電気力線の本数=その点の電場の強さ

・任意の閉曲面から湧き出す電気力線の本数は、閉曲面の電荷のみに比例し、

$$4{\pi}k_0Q本=\frac{Q}{\varepsilon_0}本$$

悩んでる人

2番目の、『任意の閉曲面から湧き出す電気力線の本数は、閉曲面内の電荷のみに比例』ってなんですか?

まず、『閉曲面』という言葉の解説からです!

閉曲面とは、閉じた部分で囲った面のことを言います。

先ほどの導出で、正電荷を\(1m^2\)で囲ったり、\(4{\pi}r^2\)で囲ったりしたあれのことです。

実は、ガウスの法則では、任意の閉曲面から湧き出す電気力線の本数は、閉曲面の電荷のみに比例するのです!

悩んでる人

つまり、囲った部分の外にある電荷は、入らないということですか?

その通り!閉曲面の外にある電荷が作る電気力線は、閉曲面の中に入ってきても必ず外に出ていくから、湧き出す電気力線に入らないんだ!

塾長

なるほど!つまり、ガウスの法則について考えるときは、閉曲面で囲った内部にある電荷のみを考えればいいのですね!

そうだね!閉曲面の外にある電荷は考えないって覚えておこう!

塾長



まとめ

今回は、ガウスの法則についてと、どうして4πkQ本になるのかについて例題を絡めて詳しく説明してきました!

ガウスの法則の言葉の定義と、電気力線が4πkQ本になる導出は非常に大切ですので、しっかりと理解しておきましょう!

ガウスの法則

・\(1m^2\)あたりの電気力線の本数=その点の電場の強さ

・任意の閉曲面から湧き出す電気力線の本数は、閉曲面の電荷のみに比例し、

$$4{\pi}k_0Q本=\frac{Q}{\varepsilon_0}本$$

今回は以上です。

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しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

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