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【難関大必須】ファラデーの法則を完全理解【問題の解き方を徹底解説】


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いきなりだけど、今回は次のような問題を考えていくよ!

塾長

例題

紙面上に金属線が、図のようにねじれた形で置いてある。金属線の表面は絶縁体の被膜でおおわれており、全体の抵抗値はRである。鉛直上向きに一様な磁束密度\(B(t)=ksin(wt)+B_0\)の形で時間変化する磁場を加えた。この時、コイルに流れる電流を求めよ。ただし、電流の向きは、図の方向を正方向とする。

この問題は、東京工業大学の問題ですが、難しいのは『磁束密度が時間によって変化する』ということです。

増える、減るがわかれば、レンツの法則から誘電起電力の向きがわかりますが、この場合ではわかりません。

そこで磁束変化の向きがわからない時はどうするのか』ということについて、今回は説明していきます!

※今回の内容は、主にMARCHよりも上を受験する人向けになっています。知っていると得ですが、MARCH以下なら前回の解き方で解けることが多いので、見なくても大丈夫です。

⇨前回の内容は電磁誘導とレンツの法則って何?【参考書に載ってない原理から解説】を参考にどうぞ。

ファラデーの法則(レンツの法則を内包した形)を使う!

前回、磁束が変化すると、ファラデーの電磁誘導の法則に従って、誘電起電力の大きさが決まるのでした。

ファラデーの電磁誘導の法則

誘電起電力をVとすると、Vは磁束\(\Phi\)の時間変化によって生じるので、

$$V=|\frac{d\Phi}{dt}|$$と書ける


今回のように、磁束の増減の方向がわからない場合には、レンツの法則を内包したファラデーの法則を使います!

ファラデーの法則(レンツの法則を内包)

図のように、\(\Phi,V\)の正方向を連動させて決めるとき(右ネジの関係、$$V=-\frac{d\Phi}{dt}$$と書ける

この方法を使うと、\(\Phi\)が増えるのか、減るのかわからなくても、答えを出すことができます!

この形、教科書で見たことありますが、こうやって使うのですね!

確かに、教科書に公式は書いてあるけど、参考書であっても使い方が書いていないことが多いから、しっかりここで勉強していこう!

塾長

解き方:ファラデーの法則を用いた例題

例題

紙面上に金属線が、図のようにねじれた形で置いてある。金属線の表面は絶縁体の被膜でおおわれており、全体の抵抗値はRである。鉛直上向きに一様な磁束密度\(B(t)=ksin(wt)+B_0\)の形で時間変化する磁場を加えた。この時、コイルに流れる電流を求めよ。ただし、電流の向きは、図の方向を正方向とする。

問題の進め方

➀右ネジの関係になるように、磁束と誘電起電力の正方向を決める。

➁➀で決めた軸の方向を見ながら、コイルを貫く全磁束を求める。

➂レンツの法則を内包したファラデーの法則の公式に代入する。

➀右ネジの関係になるように、磁束と誘電起電力の正方向を決める。

まずは、図のように、磁束と誘電起電力の正方向を決めます!

塾長

今回、電流の正方向の向きが決まっているので、電流の向きと起電力の正方向を一緒にしておきます!

このあとは、もう一つコイルのループがあるので、そっちの正方向も考えていきます。

さっきと同じように、電流の正方向と起電力の正方向を、同じ向きで決めればOKです!

➁➀で決めた軸の方向を見ながら、コイルを貫く全磁束を求める。

次は、図を見ながらコイルを貫く全磁束を求めていきます!

軸と同じ方向をプラス、軸と逆向きをマイナスとすると、全磁束\(\Phi\)は、

$$(全磁束\Phi)=+B(t)S_2-B(t)S_1$$$$=(S_2-S_1)B(t)$$$$=(S_2-S_1)\{ksin(wt)+B_0\}(問題文のB(t)を代入)$$

磁束密度Bから磁束\(\Phi\)を出すには、面積を掛けなくちゃいけないことを忘れずに!

塾長

➂レンツの法則を内包したファラデーの法則の公式に代入する。

ファラデーの法則(レンツの法則を内包)

図のように、\(\Phi,V\)の正方向を連動させて決めるとき(右ネジの関係、$$V=-\frac{d\Phi}{dt}$$と書ける

ここまで来たら、上の公式に➁で求めた、全磁束を代入して起電力を求めていくだけです!

$$V=-\frac{d\Phi}{dt}$$$$=-\frac{d}{dt}\{(S_2-S_1)ksin(wt)+B_0(S_2-S_1)\}$$$$=-k(S_2-S_1)\frac{d}{dt}sin(wt)+0 ※B_0(S_2-S_1)は定数⇨微分したら0$$$$=wk(S_1-S_2)coswt$$

$$\therefore V=wk(S_1-S_2)coswt$$となります!

最後に、回路方程式を立てるだけです!

回路全体の抵抗を一部分に集約し、誘電起電力も一か所に集めると、上のようになります。

図をみて、回路方程式を立てると、

$$V=RI$$$$I=\frac{V}{R}$$$$V=wk(S_1-S_2)coswtを代入して$$

$$\therefore I=\frac{wk(S_1-S_2)}{R}coswt・・・(答え)$$

まとめ:難関大の問題はレンツの法則を内包した形で解く!

今回は、コイルを貫く磁束が時間変化するときに、どういう風に解けばよいか説明しました!

このような場合は、レンツの法則を内包したファラデーの法則を使えばよいのでした。

ファラデーの法則(レンツの法則を内包)

図のように、\(\Phi,V\)の正方向を連動させて決めるとき(右ネジの関係、$$V=-\frac{d\Phi}{dt}$$と書ける

➀右ネジの関係になるように、磁束と誘電起電力の正方向を決める。

➁➀で決めた軸の方向を見ながら、コイルを貫く全磁束を求める。

➂レンツの法則を内包したファラデーの法則の公式に代入する。

この式の立て方は、参考書に載っていることが非常に少ないので、塾や予備校に通っている人と差がつきやすい場所でもあります!

そして、このやり方は、磁束が時間変化する場合はもちろん、時間変化しない場合でも解くことができるので、自分の持っている問題集で練習しましょう。

今回は以上です。

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しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

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