力学 導出 物理

【万有引力の公式】位置エネルギーの基準を無限遠にとる理由【マイナスになる理由あり】


【お得なキャンペーン中!】今なら14日間無料で見放題!

関連記事大学受験におすすめのスタディサプリコースは?【料金や評判も大公開!】

悩んでる人

・どうして万有引力位置エネルギーはマイナスなの?
基準を∞点に取るのはなぜ?

今回は、上のような悩みを解決していきます!

私も、実際に『どうして位置エネルギーがマイナスなんだろう』『基準が無限なのはどうして?』と思っていましたが、しっかり基本がわかれば難しい話ではありませんでした!

同じような悩みを抱えている人は、この記事を読めばスッキリ解決できますよ。

✔この記事の内容
・万有引力による位置エネルギーがマイナスの理由
・位置エネルギーの基準が無限遠方なわけ

まずは重力の位置エネルギーを復習!

まずは、簡単に重力による位置エネルギーについて復習しましょう。

重力による位置エネルギーは、高さをhとすれば

$$mgh$$

と表すことができました。

また、\(mgh\)のエネルギーを持つ物体は、
基準に戻るまでに重力が\(mg×h\)仕事をする能力を持っている』ということができます!

例えば、地表からビルに上ってバンジージャンプをすれば、自分が上った分だけ、重力によって地表に戻されるよね!

塾長

ココがポイント

重力による位置エネルギーは、基準に戻るまでに重力がする仕事に等しい!



万有引力の位置エネルギーを証明&導出

万有引力による位置エネルギーは、基準を無限遠点にとると、以下のようにあらわすことができます!

$$u=-G\frac{Mm}{r}$$

これを導くことで、今回の疑問は2つとも解決できますよ!

まずは、以下の点に気を付けながら作図しましょう!

➀\(x\)軸を書いて、正方向を決める
➁原点に質量M、\(r\)(A点)に質量mの物体を描く
➂任意に点における万有引力をかき、位置エネルギーの基準は\(r_0\)とする

さて、エネルギーは一般的に(力)×(距離)で求められますが、力が一定でない場合は、この公式は使えません。

悩んでる人

万有引力の大きさは、2物体との距離によって変化するから、この求め方はできませんね。

そんな時は、積分を使って求めるしかないんだ!

塾長


万有引力による位置エネルギーは、A点からB点(基準)に戻るまでに万有引力がする仕事に等しく

$$V=\int_r^{r_0}-G\frac{Mm}{x^2} dx$$

となります!

式の立て方は、弾性力の位置エネルギーのときにやったね!

塾長


悩んでる人

積分の計算が難しそう・・・

大丈夫!変化するのは分母にある\(x^2\)だけだから、\(\frac{1}{x^2}\)を\(x^{-2}\)にして積分してごらん!

塾長

あ、なんかできそうです!

$$V=\int_r^{r_0}-G\frac{Mm}{x^2} dx$$

$$=\left[GMm\frac{1}{x}\right]^{r_0}_r$$

$$=G\frac{Mm}{r_0}-G\frac{Mm}{r}$$

となります!

これが、基準を\(r_0\)にとったときの位置エネルギーだけど、このままの形では、式が長くて使いづくないかい?

塾長


あ!だから位置エネルギーの基準を∞にとるんですね!

その通り!基準の\(r_0\)を∞に変えると、分母が∞になってその項は0とみなすことができるんだ!

塾長

$$V=G\frac{Mm}{r_0}-G\frac{Mm}{r}$$

$$=G\frac{Mm}{∞}-G\frac{Mm}{r}(r_0を∞にする)$$

$$=0-G\frac{Mm}{r}$$

$$=-G\frac{Mm}{r}$$

これが、∞遠点を基準にとった、万有引力による位置エネルギーです!

つまり、まとめると以下のようになります。

ココがポイント

・基準を無限にとることで、位置エネルギーが簡単になる!
・\(r_0\)を無限にすることで、\(G\frac{Mm}{r_0}\)の項が消えるため、マイナスがつく!

これが、基準を無限にとり、位置エネルギーにマイナスがつく理由だったんですね!

まとめ:万有引力の位置エネルギーがマイナスなのは基準が無限遠だから

今回は、万有引力による位置エネルギーについて話してきました!

➀どうして万有引力による位置エネルギーは基準が無限なのか
➁位置エネルギーはなぜマイナスなのか

以上2つの理由がもうわかりましたよね?

このように、物理はただ単に問題を解いたり、公式を暗記するだけでは、成績も伸びませんし理解も深まりません!

公式が出てきたときには、導出もあわせて勉強していくことが大切ですので、しっかりと頭にいれて勉強していきましょう。

  • この記事を書いた人
  • 最新記事

しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

-力学, 導出, 物理