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なぜ交流回路ではコンデンサーの位相がπ/2だけずれるのか【導出あり】


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悩んでる人

交流回路、わからなくて泣きそうです、、

電磁気の分野は、『電場・電位』で一度心を折られ、『電磁誘導』で二度目、そして交流』で心が粉砕します。

僕も、現役生のときは、物理のエッセンスを読んで頑張っていましたが、今読み返してみると、ほんとただのテクニック本やなあ、と思います。

そこで今回は、『コンデンサーと交流』について話していきます。

結論から言ってしまうと、交流でも直流でもやることは同じなので、何も難しくはありません!

この記事を読めば、『交流回路にコンデンサーつながっても簡単やん!』ってなりますよ。

前回の記事は【差がつく!】交流回路で抵抗が繋がった問題の解き方を解説【簡単です】を参考にどうぞ。

✔この記事の内容
・交流回路が難しいわけ
・交流回路におけるコンデンサーのふるまい

✔この記事の信頼性
苦手だった物理を、浪人時に偏差値65以上センター試験満点近くまで伸ばした、参考書には書かれていない、考え方や勉強法について、必要なエッセンスを『ぎゅっと』凝縮してまとめています。

【電磁気の分野の注意点】
極力微積は使わないように説明していますが、電磁気の分野では微積を使うことで理解が深まる場所は、微積を使っています。
微積といっても、数Ⅱ数Ⅲの教科書例題レベルなので、身構えなくても大丈夫です!

【例】
・\(v=\frac{dx}{dt}\)
・・・(分子)の(分母)変化と読む。今回は、(位置)の(時間)変化なので、速度のこと

・\(a=\dot{v}=\ddot{x}\)
・・・ドット微分を表す。2回微分であれば、ドットの数は2つ。

交流回路が難しく感じるのは位相がずれるから

抵抗と交流のところでも話しましたが、交流が難しく感じる原因は『交流回路は位相が変化するから』です。

位相は、sin〇〇,cos〇〇の角度のところだよ!

塾長


交流回路では、電源電圧の大きさや向きが時間変化するので、流れる電流もコロコロ変化してしまうのです。

それが原因で、コイルやコンデンサー、抵抗は直流回路とは違った振る舞いをします。

では、どんな振る舞いをするのか、今回は、コンデンサーについて見ていきましょう。



コンデンサーがある交流回路の解き方

では、電圧と電流の位相のずれを見るために、コンデンサーを流れる電流を求めていきましょう!

まずは、交流電源とコンデンサーを導線でつなぎます。

交流でも直流でも、回路問題の解き方は『手順が決まっていました。

回路問題の解き方

電荷電流を仮定する(あるいは電位差をおく)
➁オームの法則を使って抵抗にある未知数を求める
回路方程式を立てて、電荷や電流を求める
※回路方程式とは、キルヒホッフの法則(電流保存、電位1周で電位差0)や電荷保存の式のこと


さて、交流電源とコンデンサーをつないで、上の➀➁を描き込むと下のようになります。

交流電源の電圧の向きも、適当に決めてしまってOKだよ!

塾長


・電荷保存の式⇨コンデンサーが2つ以上無いから使わない
・電流保存の式⇨回路の中に分岐がないから使わない

上のように考えると、➂の手順では、『電位差1周して0』しか使えないので、図を見ながら式を立てると、

$$v_0sin\omega t=\frac{q}{C}・・・➀$$

となります。


悩んでる人

式は1本だけですか、、?

式が、1本しかないと電流は求まらないね。こういう時は、電荷保存の式(時間変化ver)を使っていくよ!

塾長

今回、コンデンサーの\(+q\)の方に電流が流れ込んでいるから、『充電』方向、つまり上の電荷保存の式はプラスで書くので、

$$i=+\frac{dq}{dt}・・・➁$$

となります。


$$v_0sin\omega t=\frac{q}{C}・・・➀$$$$i=+\frac{dq}{dt}・・・➁$$

電流を求めたいので、➁式に➀式の\(q\)を代入すると

$$i=+\frac{dq}{dt}$$$$=+\frac{d}{dt}(Cv_0sin\omega t)$$$$=C\omega v_0cos\omega t$$(\(sin\omega t\)を\(t\)で微分)$$=\omega Cv_0sin(\omega t+\frac{\pi}{2})$$(sinをcosに変換:数Ⅰ数Ⅱ参照)

数Ⅲと三角関数の基本問題ができれば解けるはずだよ!
逆にできない人は、数学が危ないと思ってほしい!!

塾長


さて、これで電流が出てきたので、『電源電圧』と『回路を流れる電流』を比較してみましょう!

$$v=v_0sin\omega t$$$$i=\omega Cv_0sin(\omega t+\frac{\pi}{2})$$

あ!電流の方が電圧よりも、位相が\(\frac{\pi}{2}\)だけ早く進んでいます!

そうだね!つまり、コンデンサーでは電流が先にきて、その次に電圧がかかるということなんだ!

塾長

ココがポイント

コンデンサーでは、電流の方が電圧よりも\(\frac{\pi}{2}\)早い



\(v=v_0sin\omega t\)と\(i=\omega Cv_0sin(\omega t+\frac{\pi}{2})\)のグラフを描いてみると下のようになります。

確かに、 『電流の最大値』→『電圧の最大値』の順番ですね!

イメージとしては、スマホの充電を思い浮かべてほしくて、プラグに差し込んだ瞬間に充電は満タンにならないよね?電流が流れてから、充電される(電圧がかかる)順番なんだ!

塾長

さらっと導出していますけど、この導出は何も見ずにできるようにしておきましょう!!



交流コンデンサーのインピーダンスとは?

交流回路には、直流回路における抵抗と同じような働きをする『インピーダンス(単位はΩ)というものがあります。

インピーダンスは大きくなればなるほど、電流が流れにくくなるんだ!

塾長

インピーダンスは、抵抗と同じように『オームの法則』と同じ形で求めることができます。

インピーダンスの求め方

$$X_e=\frac{V_e}{I_e}=\frac{v_0}{i_0}$$


インピーダンスを求める時は、最大値を使うか、実効値を使うか『どちらか統一』して使いましょう!

塾長

\(v=v_0sin\omega t\) と \(i=\omega Cv_0sin(\omega t+\frac{\pi}{2})\)の最大値は、sin,cosの前にある数なので、\(v_0\) と \(\omega Cv_0\)です。

最大値を使ってインピーダンスを求めると、

$$X_e=\frac{(電圧の最大値)}{(電流の最大値)}$$$$=\frac{v_0}{\omega Cv_0}$$$$=\frac{1}{\omega C}$$

となります。


交流コンデンサー回路では、$$\frac{1}{\omega C}$$ が抵抗みたいなものになるんですね!

"コンデンサーの容量"という言葉があることから、$$\frac{1}{\omega C}$$ のことを、容量リアクタンスというよ!

塾長

容量リアクタンスは、上のように導出できるようにしておくとともに、ぱっと書けるようにしておこう!



まとめ:コンデンサーがある交流回路は難しくない!

今回は、交流回路とコンデンサーの関係について話してきました。

交流の問題を解けるようにするために、大切なことは以下の3つです。

ココがポイント

➀交流回路における電流は電圧よりも、\(\frac{\pi}{2}\)早い
容量リアクタンス\(\frac{1}{\omega C}\)
➂上の2つを導出できるようにしておく

これができるようになれば、交流回路を理解できるようになるので、まずは手を動かして、上の3つをできるようにしていきましょう。

今回は以上です。

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しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

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