導出 熱力学 物理

【物理】熱力学の内部エネルギーとは?【公式と定積モル比熱との関係】


【お得なキャンペーン中!】今なら14日間無料で見放題!

関連記事大学受験におすすめのスタディサプリコースは?【料金や評判も大公開!】

今すぐ14日間無料体験

スタサプ公式サイトにアクセス

悩んでる人

内部エネルギーって何ですか?
定積モル比熱って何変化でも使っていいんですか?

受験生であっても、内部エネルギーについて詳しく説明できない人がたくさんいますが、内部エネルギーを説明できないと、難関大では式を立てることができません!

『大問まるまる落としてしまった・・』なんて絶望しないためにも、内部エネルギーの定義についてしっかり勉強しておきましょう。

✔この記事の内容
・内部エネルギーは気体分子の運動エネルギーの総和
・内部エネルギーの定積モル比熱は、定圧、等温、断熱変化でも使える
・絶対温度と内部エネルギーの関係

内部エネルギーは気体分子の運動エネルギーの合計のこと

内部エネルギーは、『気体分子の運動エネルギーの合計』と『分子間力における位置エネルギー』の和のことを言います。

悩んでる人

ん?タイトルには、運動エネルギーだけしか、書いてありますけど。

言葉の定義上は、位置エネルギーも入るんだけど、高校物理で気体はすべて理想気体だから、分子間力が無視されて、位置エネルギーは考えなくていいんだ!

塾長

ココがポイント

気体の内部エネルギーは、気体分子の運動エネルギーの総和

では、気体分子の運動エネルギーの総和Uはどのように表されるでしょうか。


悩んでる人

気体分子の運動エネルギーを大きくしたければ、温度が高い方が大きくなりそうですけど、、

そうだね!あとは、気体分子の数が多ければ多いほど、運動エネルギーの総和は大きくなるよね!

塾長

つまり、内部エネルギーは、絶対温度T気体の数(モル数n)に比例することがわかります。



比例定数を\(C_r\)とすると、内部エネルギーUは

$$U=C_rnT$$

と書くことができます!

ちなみに、比例定数を\(C_r\)を定積モル比熱というよ!

塾長

ココがポイント

内部エネルギーは、定積モル比熱\(C_r\)を用いて、$$U=C_rnT$$と書ける!

内部エネルギーと定積モル比熱の関係

定積モル比熱は、単原子分子(1つだけの分子)では、$$C_r=\frac{3}{2}R$$と表すことができます!

なぜ、このような値が出てくるのか、内部エネルギーと絶対温度の観点から見ていきましょう。

そもそも『絶対温度』は、気体分子の運動エネルギーの平均値であることを学んだね!

塾長

内部エネルギー・・・気体分子の運動エネルギーの総和
絶対温度・・・気体分子の運動エネルギーの平均値

つまり、内部エネルギーは、絶対温度の関係式から導くことができるのです!

悩んでる人

話についていけないのですが・・・

例えば、30人クラスで数学のテストをして、平均点が60点だったとしよう。この時、30人合計の点数は

$$60点(平均値)×30人(人数)=1800点(総和)$$

で求められるよね!

内部エネルギー・・・気体分子の運動エネルギーの総和
絶対温度・・・気体分子の運動エネルギーの平均値

つまり、内部エネルギーという『総和』を求めたければ、気体分子の運動エネルギーの平均値に空間の中にいる気体の数(人数)をかけてあげればいいことになります。

よって、

$$\frac{1}{2}m\overline{v^2}×N=U$$(運動エネルギーの平均値)×(気体の個数)=(総和)

気体の運動エネルギーの平均値\(\frac{1}{2}m\overline{v^2}\)は、ボルツマン定数を使って、$$\frac{3}{2}k_BT$$

と表せ、気体の個数Nはモル数nとアボカド定数\(N_A\)を用いて、$$N=nN_A$$

と表せるので、それぞれを代入して、

$$U=\frac{1}{2}m\overline{v^2}×N$$$$=\frac{3}{2}k_BT×nN_A$$$$=\frac{3}{2}\frac{R}{N_A}T×nN_A$$$$=\frac{3}{2}nRT$$

となります。

つまり、内部エネルギーは

$$U=\frac{3}{2}nRT$$

とも表すことができるのです。

$$U=C_rnT$$$$U=\frac{3}{2}nRT$$

の2つを比較すると、

$$C_r=\frac{3}{2}R$$

となることから、定積モル比熱は\(\frac{3}{2}R\)となることがわかりましたね!

ココがポイント

内部エネルギーは、$$U=\frac{3}{2}nRT$$と表せる!
定積モル比熱は、単原子分子だと$$C_r=\frac{3}{2}R$$
と表せる!

ちょっと一言

定積モル比熱は、『定積』という名前がついているけど、あくまで内部エネルギーの比例定数であり、気体の種類(何原子分子)かによって決まる定数なので、定積、定圧、断熱変化どれであっても、『内部エネルギー』ときたら、定積モル比熱\(C_r\)を使うこと!

まとめ:内部エネルギーときたら定積モル比熱を使う!

今回は、内部エネルギーと、その比例定数である定積モル比熱について話してきました。

内部エネルギーは、気体分子の運動エネルギーの総和のこと
$$U=C_rnT=\frac{3}{2}nRT$$
単原子分子の場合は、何変化であっても内部エネルギーの定積モル比熱は、$$C_r=\frac{3}{2}R$$と書ける。

上の2つは、知らなかったり、あいまいに覚えている人が多いので、しっかりと理解しておきましょう!

  • この記事を書いた人
  • 最新記事

しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

-導出, 熱力学, 物理