力学 物理

力のモーメントの計算問題を攻略!【公式&解き方をわかりやすく解説】


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悩んでる人

力のモーメントって何?
・どんな公式で表されるの?
どういう時に式を立てればいいの?

今回は、そんな受験生の悩みを解決していきます!

そして、最後には以下の例題を通して、モーメントの問題を解けるようにしていきますよ。

例題

水平面に重さW、長さ\(l\)の太さが一様でない棒が置かれている。A端をばねを用いて持ち上げると、\(s\)だけ伸び、同じばねを用いてB端を持ち上げると、\(2s\)だけ伸びた。この時、B端から重心までの距離を求めよ。また、ばねの伸び\(s\)を求めよ。ただし、ばね定数を\(k\)とする。

力のモーメントとは回転の大きさを表す

力のモーメントとは、物体を回転させる作用のことで、簡単に言えば、回転の大きさのことを表します。

悩んでる人

あまり想像ができないのですが、、

例えば、ドアを押して開ける時、なるべくドアのつけ根から遠いところを押した方が、楽に開けられるよね!あれは、力のモーメントが関係しているからなんだ!

塾長

つまり、物体を回転させる大きさは、力の大きさだけではなく、力を加える場所も大切だということになります。

なので、力のモーメントは、以下のようにあらわすことができます。

力のモーメントの公式

力のモーメントN
=力\(f\)×支点から力Fの作用線までの距離\(l\)

実際に問題を解くときには、

➀支点
➁力\(F\)の作用線
➂うでの長さ\(l\)

の順番で作図するようにしましょう!

例題:力のモーメントの計算問題

例題

水平面に重さW、長さ\(l\)の太さが一様でない棒が置かれている。A端をばねを用いて持ち上げると、\(s\)だけ伸び、同じばねを用いてB端を持ち上げると、\(2s\)だけ伸びた。この時、B端から重心までの距離を求めよ。また、ばねの伸び\(s\)を求めよ。ただし、ばね定数を\(k\)とする。

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう!自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります!

それでは一緒に解いていきましょう!

塾長

力のモーメントの計算問題の解き方

考え方

『物体が静止』と書いてあれば、力のつり合いの式力のモーメントの式を考える!

B端から重心までの距離を\(x\)とします。問題文をみると、水平面に物体が置かれているので、『物体が静止している』ことがわかります。

そして、A端B端それぞれをばねで持ち上げた時の状況が書かれているので、まずはその2つの状況を絵にかいてから、つり合いの式とモーメントの式を立てていきます。

その①:A端を持ち上げた時

力の図を描くと上のようになりますので、力のつり合いの式は、

$$ks+N_B=W・・・➀$$

となります。

次は、力のモーメントの式を立てていきましょう!

悩んでる人

あのー、支点ってどこにとればいいんですか?

いい質問だね!モーメントの支点は、多くの力が働いているところ、あるいは未知の文字があるところにとりましょう!

塾長

このように支点をとる理由は、支点に働く力は、うでの長さ\(l\)が0になるため、計算が楽になるからです!

力のモーメントの支点

➀多くの力が働いているところ

➁未知の文字があるところ

今回は、垂直抗力\(N_B\)は自分で置いた文字、つまり未知数なので、B端をモーメントの支点にとると、モーメントの式は

$$ks×l=Wx・・・➁$$

となりますね!

今立てた式だけだと答えがわからないので、同様にB端を持ち上げた時のつり合いの式とモーメントの式を書いていきます。

その②:B端を持ち上げた時

力の図を描くと上のようになりますので、力のつり合いの式は、

$$2ks+N_A=W・・・➂$$

となります。

次は、力のモーメントの式を立てていきます。

今回は、A端に働く垂直抗力を自分で\(N_A\)と置いたので、未知数があるA端をモーメントの支点として考えます。

A端をモーメントの支点とした時の、モーメントの式は、

$$W(l-x)=l×2ks・・・➃$$

力のつり合いと、力のモーメントの式は、以下のように求められました。

$$ks+N_B=W・・・➀$$
$$ks×l=Wx・・・➁$$
$$2ks+N_A=W・・・➂$$
$$W(l-x)=l×2ks・・・➃$$

今回知りたいのは、ばねの伸び\(s\)とB端から重心までの距離\(x\)なので、\(x\)と\(s\)が入っている➁と➃の式、つまり力のモーメントの式2本を連立すればわかり、答えは

$$s=\frac{W}{3k}$$$$x=\frac{l}{3}$$

となります。

今回は、つり合いの式はいらなかったってことだね!逆に言えば、モーメントの式を立ててなかったら解けなかったということなので、しっかり式を立てられるようにしておこう!

塾長

まとめ:まずは力のつりあいを考えてから力のモーメントの式を立てる!

今回は、力のモーメントについて詳しく話してきました。

力のモーメントの問題で、気を付けるべきことをまとめておきます!

まとめ

力のモーメントN=力\(f\)×支点から力Fの作用線までの距離\(l\)

支点⇨力\(F\)の作用線⇨うでの長さ\(l\)の順で作図する

多くの力が働いているところ、未知の文字があるところを支点にとる

上のことに気を付けながら、自分の持っている問題集で練習してみてくださいね!

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しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

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