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【高校物理】単振動の公式ってどうやって証明するの?【ヒント:等速円運動から導出】


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悩んでる人

単振動苦手なんです・・・

力学の範囲ももう少しで終わりますが、単振動あたりから苦手な人が増えてきます。

確かに、バネやら周期やらいろいろ出てきて、混乱してしまいますよね!

しかし苦手になる人の共通点として、『単振動の公式を丸暗記している』ということです。

そこで今回は、苦手な人が多い単振動について紹介していきます。

この記事を読めば、受験生の中でも差がつくので、しっかり勉強していきましょう!

【公式】単振動は等速円運動を射影したもの

単振動は、等速円運動を横から見た時の、往復運動のことをいいます。

つまり、単振動と円運動は密接につながっているのです!

ばねの単振動が有名だけど、時計の振り子とかも単振動だよ!

塾長



等速円運動と単振動を比較

ここからは、単振動の加速度を導出していきますので、紙とペンを用意して、実際に描いてみましょう!

塾長

上の図の描き方

➀半径A、角速度wtの円運動を、t=0,t=tの2つ描く。

➁円の隣に、紙面上方向を正方向にとった3本の軸を描く。

➂図のように、文字を描きこむ。


ここまで描けましたか?描けたら、単振動における\(x,v,a\)を導いていきます。

数Ⅲをやっている人なら、微分すれば簡単に導出できますが、今回は数Ⅲをやっていない人でもできる方法で、導出していきます。

※この導出は物理のエッセンスにも載っていないので、予備校に通っている人と差がつきます!物理で点数を取りたければ、導出を侮るなかれ。


【公式の証明】単振動の位置\(x\)の導出

まずは、オレンジの矢印\(x-x_0\)の長さを求めていきます。

円の中にある三角形に着目すると、三角形の縦と\(x-x_0\)の長さが等しいことがわかります。


三角形の中で、\(sinwt\)を求めると、

$$sinwt=\frac{x-x_0}{A}$$となるから、$$x-x_0=Asinwt$$となり、単振動の変位が求まりました。


【公式の証明】単振動の速度\(v\)の導出

続いて、\(v\)軸上の赤矢印の部分、単振動の速度\(v\)を求めていきます。

円運動の速度は、接線方向(円から伸びる赤矢印)に生じ、その大きさは、

$$w=\frac{v}{r}$$$$v=rw$$と求められました。今回、半径がAであるので、円運動の速さは、図のように

$$v=Aw$$となります。

次は、円内の緑色の三角形に着目すると、\(v\)軸上の赤矢印の部分の長さは、

$$v=Awcoswt$$

と求めることができます!

【公式の証明】単振動の加速度\(a\)の導出

最後に、\(a\)軸上の単振動の加速度を求めていきます!

あともう少しだから、一緒に頑張ろう!

塾長

等速円運動において、加速度は中心方向に$$a=rw^2$$と働くのでした。

今回、円の半径はAなので、等速円運動の加速度の大きさは、$$a=Aw^2$$

となります。

\(a\)軸上の単振動の加速度の青矢印の長さは、円内にある緑色の三角形の辺と同じだから、

$$a=-Aw^2sinwtとなります$$

また、位置\(x\)の導出で求めた \(x-x_0=Asinwt\)を代入すると、

$$a=-w^2(x-x_0)$$

となります!


悩んでる人

どうして、加速度がマイナスなのですか?

図を見てごらん。単振動の加速度の矢印は、最初にとった軸の正方向とは、逆向きになってるよ!

塾長

なるほど!軸とは逆向きだから、マイナスがつくのですね!


一応、3つの関係がどうなっているのか、上の図にまとめてみました。

そして、単振動の加速度は\(角振動数をw、振動中心をx_0\)とした時、

$$a=-w^2(x-x_0)$$

と表せることが、導けましたね!

単振動の加速度

単振動の加速度は、\(角振動数をw、振動中心をx_0\)とした時、

$$a=-w^2(x-x_0)$$

まとめ:単振動の公式は微分で求めてもOKです

今回は、単振動の加速度を、微分を使わずに図形的に求めてみました。

今回の導出のやり方がわからない人は、数学Ⅰの範囲の図形の範囲の理解が、まだ浅い可能性がありますので、よく復習しておきましょう!

また、数Ⅲを習っている人は、単振動の位置をtで微分していくと加速度を導出できますので、ぜひやってみてください。


そして、単振動の問題を解くには、以下の2点に気を付ける必要があります!

単振動のポイント

➀まず、任意の位置\(x\)における運動方程式を立てる!

➁必ず\(x\)軸と同じ向きに加速度の正方向をとる!


悩んでる人

どうして、必ず\(x\)軸と同じ向きに加速度の正方向をとらなくちゃいけないのですか?

ちゃんと導出した人なら分かるはずなんだけれどなあ

塾長

あ!導出のときに\(x\)軸と同じ向きに加速度の正方向も同じ向きに決めたからですね!

正解!これは独学だと見落としやすいから、しっかり覚えておこう!

塾長

次の記事では、実際に単振動の問題を解いていきます。

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しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

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