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実効値はどうしてルート2で割るの?【結論:平均値を求めているだけです】


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悩んでる人

どうして実効値は最大値を\(\sqrt{2}\)で割るの?

こんな悩みを解決します。

本記事の内容

  • 実効値とは交流の平均値
  • 最大値をルート2で割る理由とは?

 

交流回路になると、『瞬時値』や『実効値』など、新しい言葉が出てきて混乱してしまいますよね。

そこで今回は、どうして実効値は最大値を\(\sqrt{2}\)で割るのかについて話していきます。

前回の記事は【簡単】電気振動の解き方をわかりやすく解説【結論:単振動と同じです】を参考にどうぞ。

【電磁気の分野の注意点】
極力微積は使わないように説明していますが、電磁気の分野では微積を使うことで理解が深まる場所は、微積を使っています。
微積といっても、数Ⅱ数Ⅲの教科書例題レベルなので、身構えなくても大丈夫です!

【例】
・\(v=\frac{dx}{dt}\)
・・・(分子)の(分母)変化と読む。今回は、(位置)の(時間)変化なので、速度のこと

・\(a=\dot{v}=\ddot{x}\)
・・・ドット微分を表す。2回微分であれば、ドットの数は2つ。

実効値は交流回路における平均値!

そもそも実効値は、交流回路における電流・電圧の平均値のことです。

悩んでる人

どうして平均値が必要なのですか?

交流回路では、電流と電圧が時間変化するからなんだ!

塾長

交流回路の電圧は、

$$v=v_0sin\omega t$$

のように、時間変化するので、場所や時間によってばらつきが生じてしまいます。

それでは、計算ができないので、なんとか平均値を出せないか、という話になったのです。

悩んでる人

なるほど。でも平均値ならなんで\(\sqrt{2}\)なんて中途半端な数で割るのですか?

それは、交流電圧の\(v=v_0sin\omega t\)のグラフを見ればわかるよ!

塾長

交流の平均はルートの2乗平均で求めよ!

$$(実効値)=\frac{(最大値)}{\sqrt{2}}$$

この公式になる理由を、グラフから見ていきましょう。


実効値は、交流回路における、電流電圧の平均の目安のことでしたので、平均値は『最大値と最小値の真ん中』になります。

悩んでる人

えーっと、平均値は0ですか、、?

そんなわけないよね。
これは、グラフがマイナスの方向に飛び出してしまっているから、平均をとると0になってしまうんだ。

塾長


悩んでる人

そうですよね。求めたいのは、交流電圧の大きさの平均値ですもんね。

大きさの平均値を求めたいから、下にはみ出ている部分を、何とか上にもって来れればいいよね!

塾長

おお!すべて上にきました!けど、このままだと、\(v^2\)の平均値を求めてしまうことになりませんか?

そうならないために、実はここで、2乗を消すためにルートを使うんだよ!

塾長

すると、実効値が出てくるわけですが、やったことをまとめると下のようになります。

➀交流電流・電圧を2乗して大きさにする
➁2乗を消すために、ルートをつける

上の通りに計算してみると、

$$v=v_0sin\omega t$$

$$v^2=(v_0sin\omega t)^2$$

$$\sqrt{v^2}=\sqrt{{v_0}^2sin^2\omega t}$$

$$\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\overline{{v_0}^2}\overline{sin^2\omega t}}(平均をとる)$$

\(\overline{sin^2\omega t}\)は、\(sin^2\)関数の最大値が1で最小値が0だから、平均値は\(\frac{1}{2}\)になります。

$$\therefore V_e=\sqrt{{v_0}^2・\frac{1}{2}}$$$$=\frac{v_0}{\sqrt{2}}$$

となり、実効値は結果的に、最大値をルート2で割ったら出てくることがわかりました。

このような求め方を、2乗平均といいます。

思い返してみれば、熱力学の分子運動のところでも、2乗平均は使っていたよね!

塾長



まとめ:最大値をルート2で割る理由を覚えておこう!

今回は、実効値を求める時に、どうして最大値をルート2で割るのかについて話してきました。

ココがポイント

・実効値が交流回路における平均の目安であること
2乗平均を用いて求めることができること

上の2つを知っていれば、『実効値って何だっけ?』ってなっても、最悪自分で求めることができます。

公式を暗記するのではなく、言葉の定義や理論を理解しておくことでより深く理解できますよ。

今回は以上です。

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しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

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