力学 物理

【高校物理】終端速度の求め方は?空気抵抗がある自由落下問題の解き方を解説


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悩んでる人

終端速度って何ですか?

たまに、終端速度について質問しに来る生徒がいますが、簡単に言えば『速さが一定になったときの速度』のことをいいます。

では、どういう時に速度が一定になるのか、今回は例題とともに確認していこうと思います。

この問題ができれば、終端速度の問題はもちろん、電磁気分野のコイルの理解も深まりますので、知っている人も、もう一度やってみるのが、おすすめです!

✔この記事の内容
・終端速度の例題
・終端速度のグラフの概形

✔この記事の信頼性
苦手だった物理を、浪人時に偏差値65以上センター試験満点近くまで伸ばした、参考書には書かれていない、考え方や勉強法について、必要なエッセンスを『ぎゅっと』凝縮してまとめています。

【電磁気の分野の注意点】
極力微積は使わないように説明していますが、電磁気の分野では微積を使うことで理解が深まる場所は、微積を使っています。
微積といっても、数Ⅱ数Ⅲの教科書例題レベルなので、身構えなくても大丈夫です!

【例】
・\(v=\frac{dx}{dt}\)
・・・(分子)の(分母)変化と読む。今回は、(位置)の(時間)変化なので、速度のこと

・\(a=\dot{v}=\ddot{x}\)
・・・ドット微分を表す。2回微分であれば、ドットの数は2つ。

物体が自由落下する終端速度の問題

例題

質量mの物体が空気中を落下するとき、空気抵抗は物体の速さ\(v\)に比例し、\(kv\)(\(k\)は比例定数)であるとする。時刻\(t\)のときに初速度\(v_0\)で放し、重力加速度を\(g\)とする。

(1)物体の速さが\(v\)である瞬間の加速度の大きさを求めよ。
(2)物体に速さはやがて一定(終端速度)になる。この時の速さ\(v_f\)を求めよ。
(3)物体の\(v-t\)グラフの外形を描け。また、\(t=0\)における傾きを図中に示せ。

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう!自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります!

それでは解いていくよ!

塾長

終端速度(1)の解答

例題

質量mの物体が空気中を落下するとき、空気抵抗は物体の速さ\(v\)に比例し、\(kv\)(\(k\)は比例定数)であるとする。時刻\(t\)のときに初速度\(v_0\)で放し、重力加速度を\(g\)とする。
(1)物体の速さが\(v\)である瞬間の加速度の大きさを求めよ。

力学の問題は、力を描いてから運動方程式を立てるのが基本ですね!

今回は、空気抵抗と重力を描いてあげればおしまいです。

そのあとは、運動方向と同じ方向に加速度の正方向を取りましょう。

塾長

今回は、軽く微分にも慣れてほしいので、加速度は『\(v\)ドット』の形で書きました!

なるべく微積は使わないけれど、電磁気の分野など『微積を使った方が理解が深まる』ところに関しては、微積を使っていくから、少しずつ慣れてね!

塾長

はい、では運動方程式を立てると、

$$m\dot{v}=mg-kv$$$$\therefore \dot{v}=g-\frac{kv}{m}・・・答え$$

となります。

終端速度(2)の解答

例題

質量mの物体が空気中を落下するとき、空気抵抗は物体の速さ\(v\)に比例し、\(kv\)(\(k\)は比例定数)であるとする。時刻\(t\)のときに初速度\(v_0\)で放し、重力加速度を\(g\)とする。
(2)物体に速さはやがて一定(終端速度)になる。この時の速さ\(v_f\)を求めよ。

さて、終端速度は『速度が一定』のときの速度でしたので、言い換えれば、加速度が0ということになります。

(1)の運動方程式

$$\dot{v}=g-\frac{kv}{m}$$の$$\dot{v}=0$$として、解くと

$$\therefore v_f=\frac{mg}{k}・・・答え$$

となります。

終端速度(3)の解答

例題

質量mの物体が空気中を落下するとき、空気抵抗は物体の速さ\(v\)に比例し、\(kv\)(\(k\)は比例定数)であるとする。時刻\(t\)のときに初速度\(v_0\)で放し、重力加速度を\(g\)とする。
(3)物体の\(v-t\)グラフの概形を描け。また、\(t=0\)における傾きを図中に示せ。

今回は、グラフの概形が書ければいいから、なんとなくでいいんだ!

塾長

グラフは『通る点と傾き』がわかれば、おおよその形は描くことができます!

今回は、\(v-t\)グラフをかくので、グラフの傾きは『加速度』になります。

ココがポイント

\(v-t\)グラフの傾きは、加速度!

\(t=0\)のとき、速度は0だから、運動方程式に代入すると、

$$m\dot{v}=mg-k0$$$$m\dot{v}=mg$$$$\therefore \dot{v}=g>0$$

となり、\(t=0\)では傾きが正であることがわかります!

$$\dot{v}=g-\frac{kv}{m}$$

さらに、上の式((1)の答え)から、速度\(v\)が増加すればするほど、マイナスの部分が大きくなるので、左辺にある加速度は次第に減少することがわかりますね。

そして、最終的に、加速度が0になって、終端速度\(v_f\)((2)の答え)の値になります。

整理すると、

➀\(t=0\)のとき、グラフの傾きは\(g\)

➁\(v\)が増加すると、空気抵抗が大きくなり、加速度(グラフの傾き)は次第に減少する

➂加速度が0のときの速度は、終端速度((2)の答え)になる

上のことを踏まえて、グラフの概形を描くと、以下のようになります。

終端速度のグラフは、上のような形のグラフになるので、覚えておきましょう!

まとめ:空気抵抗がある自由落下問題では終端速度が聞かれる!

今回は、終端速度について、例題を通して話してきました。

『終端速度』といわれたら、加速度が0になる速度と思い出せればOKです!

そして、今回の運動方程式では、わざと微分を使って解いてきましたが、理由は電磁気のコイルのところで、似た形が出てくるからなんです。

これが理解できていれば、電磁気のコイルでつまずくことはありませんので、しっかりとできるようにしておきましょう!

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しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

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