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コイルの自己誘導・相互誘導とは?インダクタンスの導出を例題とともにわかりやすく解説


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悩んでる人

自己誘導と相互誘導って何ですか?

コイル(導線)は、自分の中を貫く磁束の変化を、とてつもなく嫌うのでした。

嫌いなのにも関わらず、自分で磁束の変化を起こしてしまう、おっちょこちょい者なのが、自己誘導で、相方のおっちょこちょいにいつも巻き添えを食らうのが、相互誘導です

今回は、そんな自己誘導・相互誘導の話をしていきます。

この記事を読めば、『自己・相互インダクタンスの導出』ができますので、最後まで見ていきましょう!

前回の記事は【難関大必須】ファラデーの法則を完全理解【問題の解き方を徹底解説】を参考にどうぞ。

コイルの自己誘導・相互誘導は漫才コンビ

悩んでる人

自己誘導・相互誘導が漫才コンビってどういうことですか?

まずは、自己誘導から説明していきます!

その①:自己誘導はおっちょこちょい!

コイルに電流を流すと、右ネジが回る方向に対して、磁場が発生しました!

その大きさは、単位長さ当たりのコイルの巻き数をnとした時に$$H=nI$$と書けましたね。

つまり、コイルに電流が流れると、自分自身で磁場を作ります。

もともと磁場がなかったところに、コイルが自分で磁場を変化させると、どうなるかな?

塾長

あ!変化を妨げる方向に電磁誘導が起こりました!

コイルは、環境の変化を嫌うので、直前の環境(磁場が0の状態)に戻そうと、自分で磁場を作り出します!

このように、『やっぱ前の環境がいい!』と言って、自分で作り出した磁場を、電磁誘導で消そうとすることを、自己誘導といいます。

自分で増やした磁場を、すぐ消そうとするなんて、おっちょこちょいにもほどがあるね。

塾長

自己誘導

➀コイルに電流を流す

➁電流に対して右ネジの方向に磁場が発生

➂磁束の変化を妨げる向きに磁場が発生(レンツの法則)

その②:相互誘導は相方の巻き添え

悩んでる人

相方の巻き添えって何ですか?

さっきのおっちょこちょい者の隣にいた、もう一人のコイル君も、実は被害を受けているんだ!

塾長

ただ隣にいた『コイル2』も、コイル1が作り出した磁場を受けて環境が変化してしました。

もちろん、コイルは環境の変化が嫌いなので、コイル2は『マジやめてくれ!』というわけですね!

相方の巻き添えを食らったコイル2も、すかさず磁場の変化を妨げる向きに、磁場を作り出して相方の出した磁場を減らすのです。

このように、自分は何もしていないのにも関わらず、相方のせいで自分も磁場を作ることを、相互誘導といいます。

悩んでる人

相互誘導、かわいそうすぎます・・

相互誘導

➀自己誘導コイルが磁場を作り出す

➁➀が隣にいただけのコイルの環境を変える

➂何もしてないコイルも、磁場の変化を妨げる向きに磁場を作る

つまり、自己誘導と相互誘導はセットで、自己誘導はおっちょこちょい相互誘導は相方の巻き添えを食らうと覚えておきましょう!

自己誘導・相互誘導による誘電起電力の大きさ

自己誘導・相互誘導ともに、電磁誘導を起こして、自分自身のコイル内の磁場の変化を妨げる向きに、磁場を作るのでした。

それでは、どれくらいの誘電起電力が発生するのか、例題とともに見ていきましょう。

この問題は、入試問題としても出題されるし、電磁誘導の練習にもなるから、紙とペンを用意してしっかり練習しよう!

塾長

例題

断面積S、透磁率\(\mu\)の鉄心に図のように2つのコイルがまかれている。コイル1に流れる電流を\(I\)とするとき、以下の問いに答えよ。

(1)鉄心内の磁束密度を求めよ。

次に電流\(I\)を時間\(\Delta t\)の間に\(\Delta I\)だけ変化させた。

(2)コイル1に生じる誘電起電力\(V_1\)を求めよ。ただし、左側の回路に時計回りに電流を流そうとする向きを\(V_1\)の正方向とする。

(3)コイル2に生じる誘電起電力\(V_2\)を求めよ。ただしPからQに向かう方向を正方向とする。

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう!自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります!

問題の解答:自己誘導相互誘導

考え方

(1)ソレノイドコイルの作る磁場から求める。

(2)電磁誘導の正方向を定めて、コイルを貫く全磁束から誘電起電力を求める。

(3)(2)と同様にして、相互誘導による誘電起電力を求める。

(1)の解答

ソレノイドコイルに電流を流すと、右ネジが回る方向に対して、磁場が発生しました!

その大きさは、単位長さ当たりのコイルの巻き数をnとした時に$$H=nI$$と書けましたので、単位長さ当たりの巻き数\(n=\frac{N_1}{l}\)であることに注意して、

$$B=\mu H$$$$=\mu \frac{N_1}{l}I・・・(答え)$$

(2)の解答

例題

断面積S、透磁率\(\mu\)の鉄心に図のように2つのコイルがまかれている。コイル1に流れる電流を\(I\)とするとき、以下の問いに答えよ。

次に電流\(I\)を時間\(\Delta t\)の間に\(\Delta I\)だけ変化させた。

(2)コイル1に生じる誘電起電力\(V_1\)を求めよ。ただし、左側の回路に時計回りに電流を流そうとする向きを\(V_1\)の正方向とする。

電磁誘導が起こりますので、まずは磁束と誘電起電力の正方向を、右ネジの関係で決めましょう!

塾長

※磁束と誘電起電力の正方向を、右ネジの関係で決めるやり方を知らない人は、ファラデーの法則の完全版!高校物理の電磁誘導を徹底解説【難関大に対応!!】をご覧ください。

今回は、問題文に『時計回りに電流を流そうとする向きを起電力の正方向とする』とあるため、\(V_1\)を図の向きに決めてから、磁束の正方向を右ネジの関係になるように決めました。

コイル1が作る全磁束は、$$\Phi_1=+BS×N_1となります。$$$$(プラスは、磁束正方向と同じ向きだから)$$

\(+BS\)は、単位長さ当たりが作る磁束なので、コイル1が作る全磁束は、\(N_1\)倍しなくてはいけないことに注意です。

(1)の答え$$B=\mu \frac{N_1}{l}Iを代入して$$$$\Phi_1=+BS×N_1$$$$=\frac{\mu {N_1}^2S}{l}I$$

ファラデーの法則に、上で求めた全磁束を代入すると、$$\therefore V_1=-\frac{d\Phi_1}{dt}$$$$=-\frac{\mu {N_1}^2S}{l}×\frac{dI}{dt}$$$$=-L\frac{dI}{dt}・・・(答え)$$

答えの中にある\(L\)は自己インダクタンス [H:ヘンリー]という定数だよ!

塾長

自己誘導

$$V=-L\frac{dI}{dt}$$$$自己インダクタンスL=\frac{\mu {N_1}^2S}{l}$$$$[単位H:ヘンリー]$$

(3)の解答

例題

断面積S、透磁率\(\mu\)の鉄心に図のように2つのコイルがまかれている。コイル1に流れる電流を\(I\)とするとき、以下の問いに答えよ。

次に電流\(I\)を時間\(\Delta t\)の間に\(\Delta I\)だけ変化させた。

(3)コイル2に生じる誘電起電力\(V_2\)を求めよ。ただしPからQに向かう方向を正方向とする。

(3)は、問題文に『PからQの向きを起電力の正方向とする』とあるため、\(V_2\)を図の向きに決めてから、磁束の正方向を右ネジの関係になるように決めました。

コイル2が作り出す全磁束は、$$\Phi_2=+BS×N_2です。$$$$(プラスは、磁束正方向と同じ向きだから)$$

\(+BS\)は、単位長さ当たりが作る磁束なので、コイル2が作る全磁束は、\(N_2\)倍しなくてはいけないことに注意です。

(1)の答え$$B=\mu \frac{N_1}{l}Iを代入して$$$$\Phi_2=+BS×N_2$$$$=\frac{\mu N_1 N_2 S}{l}I$$

ファラデーの法則に、上で求めた全磁束を代入すると、$$\therefore V_2=-\frac{d\Phi_2}{dt}$$$$=-\frac{\mu N_1 N_2 S}{l}×\frac{dI}{dt}$$$$=-M\frac{dI}{dt}・・・(答え)$$

答えの中にある\(M\)は相互インダクタンス [H:ヘンリー]という定数だよ!

塾長

相互誘導

$$V=-M\frac{dI}{dt}$$$$相互インダクタンスL=\frac{\mu N_1 N_2S}{l}$$$$[単位H:ヘンリー]$$

まとめ:自己誘導・相互誘導は自分で導出できるようにしよう!

今回は、自己誘導・相互誘導について詳しく紹介しました!

この範囲は、電磁誘導と絡んで苦手な人が増えてきますが、しっかり導出できればそんなに難しくはありません。

何度も手を動かして、何も見なくても描けるようになるまで練習しておきましょう!

今回は以上です。

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しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

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