【裏技】軌跡図で単振動の問題を楽に解く方法【結論：差が付きます】

今回は、下の例題を使って『軌跡図』を使った解き方について解説していくよ！

塾長

※この記事は、前回の記事とリンクしていますので、まだの人は【単振動を完全攻略！！どこよりもわかりやすく例題とともに単振動問題を解説！】をご覧ください。

例題

なめらかな水平面において、ばね定数kのばねを壁に固定し、他端に質量mの球をつなぐ。自然長を原点として、図のようにx軸をとり、時刻t=においてx=Aから球を静かに放すと、球は単振動し始めた。

（１）位置xを時間tの関数として、表せ。また$x=-\frac{A}{2}$を初めて通る時刻を求めよ。

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう！自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります！

問題の解答

例題

なめらかな水平面において、ばね定数kのばねを壁に固定し、他端に質量mの球をつなぐ。自然長を原点として、図のようにx軸をとり、時刻t=においてx=Aから球を静かに放すと、球は単振動し始めた。

（１）位置xを時間tの関数として、表せ。また$x=-\frac{A}{2}$を初めて通る時刻を求めよ。

まずは、位置xを時間tの関数として表していきます。

悩んでる人

そんな公式ありましたっけ？

ここで、『軌跡図』を使っていくんだよ！

塾長

軌跡図を使って解く

単振動は、等速円運動をとこから見た運動だったので、紙面下向きにt、右方向にx軸を取ると、上のような軌跡を描きながら運動していることがわかります。

では、赤色の曲線はどんな関数かな？

塾長

あ！振幅がAのcos波です！

これをもとに、位置xの式を立てると、

$$x(t)=Acoswt$$

となります！前回の（１）で$w=\sqrt{\frac{k}{m}}$だったので、これを代入して

$$x(t)=Acos\sqrt{\frac{k}{m}}t\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{答}\mathrm{え}$$

となります。

また、上の式を使って、$x=-\frac{A}{2}\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{時}\mathrm{刻}{t}_1$は、

$$-\frac{A}{2}=Acos\sqrt{\frac{k}{m}}{t}_1$$

$$\sqrt{\frac{k}{m}}{t}_1=\frac{2}{3}t$$

$$\text{thereefore}{t}_1=\frac{2\pi }{3}\sqrt{\frac{m}{k}}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{答}\mathrm{え}$$

となります。このように、単振動の位置を求めるときは『軌跡図』を使って求めることができます！

【補足】もし$x=-\frac{A}{2}$での速度を聞かれたら？

今回は、位置xを求める問題でしたが、速度を求めろと言われたときは、位置の式を微分しましょう！

塾長

$$x(t)=Acos\sqrt{\frac{k}{m}}t$$

もし、速度を聞かれたら、

$$v=\dot{x}$$$$=-A\sqrt{\frac{k}{m}}sin\sqrt{\frac{k}{m}}t$$

となります。

$x$の上についている・は『微分』という意味だよ！そして、この計算は数Ⅲの範囲だけど、こうやって求めることもできることは覚えておこう！

塾長

まとめ：軌跡図を使って単振動を攻略しよう！

今回は、参考書にあまり書かれていない『軌跡図』について話してきました。

物理のエッセンスにも少しだけ描いてあるのですが、大きくは書いてなく、中には知らなかった人もいるのではないでしょうか。

今回の解き方は、数学の知識を使うやり方でしたが、数学の基本が身についている人にとっては、そんなに難しくはないはずです。

あまりできなかった人は、数Ⅱの三角関数を復習してみてください。