【3ステップ】y-xグラフから波の式の作り方【y-tグラフに書き換える方法】

悩んでる人

・波の式の作り方がわからない
・式がどうやって作られているかわからない
・そもそも波の式って何？

波動の範囲って、イメージがつきにくいせいか、苦手な人が多い分野ですよね。

特に、波の式に関しては、符号がわかりづらくて難しく感じてしまいがちです。

しかし、波の式はたった3ステップで簡単に作ることができてしまうのです！

そこで今回は、参考書よりも詳しく、しかもわかりやすく波の式の作り方について、話していきます。

y-xグラフから波の式の作り方

そもそも、物理の世界では、波の表し方は2つあります！

波の式を立てるに必要なのは、横軸が$t$のグラフである（$y-t$）グラフですので、（$y-x$）グラフが与えられたときは、（$y-t$）グラフに書き換えていく必要があります。

そして、冒頭でも話した通り、波の式は3ステップで作ることができます。

それでは、実際に例題を見ていきましょう。

例題

$t=0$における媒質の単振動が上のように与えられたときの、時刻$t$における変位$y$を表す式を波長$\lambda$、周期$T$を用いて表せ。ただし、波は$x$軸正方向に$v$で進行するものとする。

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう！自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります！

➀（$y-x$）グラフは（$y-t$）グラフに書き換える！

さて、波の式を作るには、（$y-x$）グラフは（$y-t$）グラフに書き換える必要があります。

（$y-x$）グラフは、ある時間における『波の写真』を表しています。

悩んでる人

どういうことですか？

少し、海を思い浮かべてごらん！

塾長

海には、海岸と海がありますが、この写真を横から見た図が、（$y-x$）グラフなのです。

なるほど！（$y-x$）グラフは、ある時間の波の写真ってことがよくわかりました！

じゃあ、波は1秒後にどこにくるかな？

塾長

波の進行方向に対して、時間を少し進めた図を描いてみると、$x=0$（海岸と海の境目）では、波が沈みこむことがわかります。

以上のことから、$x=0$における波の時間変化の図（y-t）グラフは、以下のように書くことができます！

あ！（$y-x$）グラフが（$y-t$）グラフに書き換わりました！

（$y-x$）グラフを少しずらして、$x=0$の波の変化を見ながら、（$y-t$）グラフをかけばOKだよ！

塾長

➁ある1点の単振動を時間の関数で表す

今回の波は、➀の作業で、$x=0$における波の変化に書きかえました！

波の形は、振幅がAのマイナスsin関数なので、グラフから$x=0$における時刻$t$の波の変位は

$$y(0,t)=-Asin\omega t\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}➀$$

と書くことができます。

➂➁が位置$x$に届くのにどれくらいかかるか考える

さて、いよいよ最後のステップです。

最後は、➁が位置$x$に届くのにどれくらいかかるか考えていきます。

$x=0$で発生した波と同じ高さの波が、$x=x$に来るまでにかかる時間は、道のり÷速さで

$$\frac{x-0}{v}=\frac{x}{v}$$

となります。

座標の距離を出すには、2点の座標の（大ー小）をすればいいから、道のりは$x-0$になるよ！

塾長

つまり、位置$x$に、時刻$t$に届く波の高さは、$x=0$において、時刻$t-\frac{x}{v}$に発生した、波と高さが等しくなります！

そして、言葉の通りに式にすると、

$$y(x,t)=y(0,t-\frac{x}{v})\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}➁$$
(位置$x$に、時刻$t$に届く波の高さ)
=($x=0$において時刻$t-\frac{x}{v}$に発生した波と高さ)

となります。

➀の式と➁の式を見比べて、

$$y(0,t)=-Asin\omega t\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}➀$$$$y(0,t-\frac{x}{v})=-Asin\omega (t-\frac{x}{v})$$$$=-Asin2\pi (\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda })\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{答}\mathrm{え}$$

となります。

最後の式変形では、$\omega =\frac{2\pi }{T}$を代入しているよ！

塾長

【おまけ】波が負の方向に進行するy-xグラフ

最後に、上のy-xグラフから、波の式を立ててみよう！
波は、さっきの問題とは逆方向に、速さ$v$で進むよ！

塾長

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう！自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります！

まずは、（$y-x$）グラフを（$y-t$）グラフに書き換えていこう！

（$y-x$）グラフを進行方向（今回は負の方向）にずらすと、$x=0$における波の動きは、上に昇ってくるので、$(y-t)$グラフは、以下のように描けます！

今回の波の形は前回とは違い、振幅がAのcos関数なので、グラフから$x=0$における時刻$t$の波の変位は

$$y(0,t)=-Acos\omega t\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}➀$$

と書くことができます。

今回、波は左向きに移動しているので、$x=0$の場所から任意の位置$x$に到着するのに、

$$\frac{0-x}{v}$$$$=-\frac{x}{v}$$

かかります。

さて、位置$x$に届くには、t秒よりも$t-\frac{0-x}{v}$秒前に、出発しなくてはいけないから、この言葉を式にすると、

$$y(x,t)=y(0,t-\frac{0-x}{v})\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}➁$$
(位置$x$に、時刻$t$に届く波の高さ)
=($x=0$において時刻$t-\frac{0-x}{v}$に発生した波と高さ)

➀の式と➁の式を見比べて、

$$y(0,t)=-Acos\omega t\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}➀$$$$y(0,t-\frac{0-x}{v})=-Acos\omega (t-\frac{0-x}{v})$$$$=-Acos\omega (t+\frac{x}{v})$$$$=-Acos2\pi (\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda })\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{答}\mathrm{え}$$

となります。

そろそろ慣れてきたかな？？

塾長

まとめ：波の式を自由自在に書き換えられるようにしよう！

今回は、$y-x$グラフからの波の式の作り方について話してきました。

波の式は、以下の3ステップで作ることができましたね。

大切なのは、『どの波のグラフが与えられても、上の3ステップで完結する』ということです。

何度も読み込んで、自分で波の式を立てられるようにしておきましょう。