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【高校物理】波の式の作り方は3ステップ!正弦波の導出をわかりやすく解説


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悩んでる人

波の式の作り方がわからない
・式がどうやって作られているかわからない
・そもそも波の式って

波動の範囲って、イメージがつきにくいせいか、苦手な人が多い分野ですよね。

特に、波の式に関しては、符号がわかりづらくて難しく感じてしまいがちです。

しかし、波の式はたった3ステップで簡単に作ることができてしまうのです!

そこで今回は、参考書よりも詳しくしかもわかりやすく波の式の作り方について、話していきます。

✔この記事の内容
・波の式の作り方はたった3ステップ
・正方向に移動する波の式の作り方

✔この記事の信頼性
浪人時に苦手だった物理を、記述模試偏差値65以上、センター試験満点近くまで伸ばした『考え方』や『解き方』について、大切なエッセンスを『ぎゅっと』凝縮してまとめています。

波の表し方は2種類ある!

そもそも、物理の世界では、波の表し方は2つあります!

【波の表し方】
➀横軸が\(x\)のグラフ(\(y-x\))グラフ
➁横軸が\(t\)のグラフ(\(y-t\))グラフ

まずは、2つのグラフの違いを知らないと、波の式は立てることができませんので、『初めて知った!』という人はしっかり勉強しておきましょう。

そして、今回波の式を立てるに使っていくのは、横軸が\(t\)のグラフである(\(y-t\))グラフです。

悩んでる人

横軸が\(x\)のグラフ(\(y-x\))グラフは波の式が立てられないのですか?

(\(y-x\))グラフは、自分で(\(y-t\))グラフに書き換える必要があるから、その方法も教えるね!

塾長

それでは、さっそく波の式を立てていきましょう!



【マネでOK!】波の式の作り方は3ステップで完了

冒頭でも話した通り、波の式は3ステップで作ることができます。

波の式の作り方!

(\(y-x\))グラフは(\(y-t\))グラフに書き換える!
➁ある1点の単振動を時間の関数で表す
➂➁が位置\(x\)に届くのにどれくらいかかるか考える

それでは、実際に例題を見ていきましょう。

例題

\(x=0\)における媒質の単振動が上のように与えられたときの、時刻\(t\)における変位\(y\)を表す式を波長\(\lambda\)、周期\(T\)を用いて表せ。ただし、波は\(x\)軸正方向に\(v\)で進行するものとする。

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう!自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります!



(\(y-x\))グラフは(\(y-t\))グラフに書き換える!

今回、グラフを見てみると、最初から(\(y-t\))グラフになっているので、このステップは飛ばして大丈夫です!



➁ある1点の単振動を時間の関数で表す

今回の波は、\(x=0\)における媒質の単振動の様子が書かれています。


の形は、振幅がAのsin関数なので、グラフから\(x=0\)における時刻\(t\)の波の変位は

$$y(0,t)=Asin\omega t・・・➀$$

と書くことができます。

\(y(0,t)\)というのは、\(x=0\)という場所に、時刻\(t\)に発生する波の高さ\(y\)という意味だよ!

塾長



➂➁が位置\(x\)に届くのにどれくらいかかるか考える

さて、いよいよ最後のステップです。

最後は、➁が位置\(x\)に届くのにどれくらいかかるか考えていきます


ここからがとても大切なので、しっかり理解してくださいね!!



\(x=0\)で発生した波と同じ高さの波が、\(x=x\)に来るまでにかかる時間は、道のり÷速さで

$$\frac{x-0}{v}=\frac{x}{v}$$

となります。

座標の距離を出すには、2点の座標の(大ー小)をすればいいから、道のりは\(x-0\)になるよ!そして、この下がめちゃくちゃ大事!!

塾長

つまり、位置\(x\)に、時刻\(t\)に届く波の高さは、\(x=0\)において、時刻\(t-\frac{x}{v}\)に発生した、波と高さが等しくなります!



悩んでる人

混乱しました。

上の図のように、位置\(x\)に来た人は、当然、家(\(x=0\))を到達した時刻\(t\)よりも\(\frac{x}{v}\)だけ早く出た人と、同一人物ですよね?

同じように考えれば、位置\(x\)に、時刻\(t\)に届く波の高さは、\(x=0\)において、時刻\(t-\frac{x}{v}\)に発生した、波と高さが等しくなる、といえます!

そして、言葉の通りに式にすると、

$$y(x,t)=y(0,t-\frac{x}{v})・・・➁$$
(位置\(x\)に、時刻\(t\)に届く波の高さ)
=(\(x=0\)において時刻\(t-\frac{x}{v}\)に発生した波と高さ)

となります。

➀の式と➁の式を見比べて、

$$y(0,t)=Asin\omega t・・・➀$$$$y(0,t-\frac{x}{v})=Asin\omega (t-\frac{x}{v})$$$$=Asin2\pi (\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})・・・答え$$

となります。

最後の式変形では、\(\omega=\frac{2\pi}{T}\)を代入しているよ!

塾長



まとめ:持っている問題集を使って波の式を作ってみよう!

今回は、波の式の作り方について話してきました。

波の式は、以下の3ステップで作ることができましたね。

波の式の作り方!

(\(y-x\))グラフは(\(y-t\))グラフに書き換える!
➁ある1点の単振動を時間の関数で表す
➂➁が位置\(x\)に届くのにどれくらいかかるか考える

今回の内容は、非常に大切なので、何度も読み込んでおきましょう!

このページが理解できた人は、

・波の進行方向が違うパターン
・\((y-x)\)グラフからの波の式の作り方

について話していくので、次の記事もご覧ください!

関連記事負の方向に進む波の式の作り方は?たった3ステップで完結します

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しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

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