力学 物理

【裏技】軌跡図で単振動の問題を楽に解く方法【結論:差が付きます】


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今回は、下の例題を使って『軌跡図』を使った解き方について解説していくよ!

塾長

※この記事は、前回の記事とリンクしていますので、まだの人は単振動を完全攻略!!どこよりもわかりやすく例題とともに単振動問題を解説!をご覧ください。

例題

なめらかな水平面において、ばね定数kのばねを壁に固定し、他端に質量mの球をつなぐ。自然長を原点として、図のようにx軸をとり、時刻t=においてx=Aから球を静かに放すと、球は単振動し始めた。

(1)位置xを時間tの関数として、表せ。また\(x=-\frac{A}{2}\)を初めて通る時刻を求めよ。

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう!自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります!

問題の解答

例題

なめらかな水平面において、ばね定数kのばねを壁に固定し、他端に質量mの球をつなぐ。自然長を原点として、図のようにx軸をとり、時刻t=においてx=Aから球を静かに放すと、球は単振動し始めた。

(1)位置xを時間tの関数として、表せ。また\(x=-\frac{A}{2}\)を初めて通る時刻を求めよ。

まずは、位置xを時間tの関数として表していきます。

悩んでる人

そんな公式ありましたっけ?

ここで、『軌跡図』を使っていくんだよ!

塾長

軌跡図を使って解く

単振動は、等速円運動をとこから見た運動だったので、紙面下向きにt、右方向にx軸を取ると、上のような軌跡を描きながら運動していることがわかります。

では、赤色の曲線はどんな関数かな?

塾長

あ!振幅がAのcos波です!

これをもとに、位置xの式を立てると、

$$x(t)=Acoswt$$

となります!前回の(1)で\(w=\sqrt\frac{k}{m}\)だったので、これを代入して

$$x(t)=Acos\sqrt\frac{k}{m}t・・・答え$$

となります。

また、上の式を使って、\(x=-\frac{A}{2}となる時刻t_1\)は、

$$-\frac{A}{2}=Acos\sqrt\frac{k}{m}t_1$$

$$\sqrt\frac{k}{m}t_1=\frac{2}{3}t$$

$$\thereefore t_1=\frac{2\pi}{3}\sqrt\frac{m}{k}・・・答え$$

となります。このように、単振動の位置を求めるときは『軌跡図』を使って求めることができます!

ポイント

単振動の位置は、『軌跡図』を使って求める!

【補足】もし\(x=-\frac{A}{2}\)での速度を聞かれたら?

今回は、位置xを求める問題でしたが、速度を求めろと言われたときは、位置の式を微分しましょう!

塾長

$$x(t)=Acos\sqrt\frac{k}{m}t$$

もし、速度を聞かれたら、

$$v=\dot{x}$$$$=-A\sqrt\frac{k}{m}sin\sqrt\frac{k}{m}t$$

となります。

\(x\)の上についている・は『微分』という意味だよ!そして、この計算は数Ⅲの範囲だけど、こうやって求めることもできることは覚えておこう!

塾長

まとめ:軌跡図を使って単振動を攻略しよう!

今回は、参考書にあまり書かれていない『軌跡図』について話してきました。

物理のエッセンスにも少しだけ描いてあるのですが、大きくは書いてなく、中には知らなかった人もいるのではないでしょうか。

今回の解き方は、数学の知識を使うやり方でしたが、数学の基本が身についている人にとっては、そんなに難しくはないはずです。

あまりできなかった人は、数Ⅱの三角関数を復習してみてください。

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しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

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