導出 波動 物理

【3ステップ】y-xグラフから波の式の作り方【y-tグラフに書き換える方法】


【お得なキャンペーン中!】今なら14日間無料で見放題!

関連記事大学受験におすすめのスタディサプリコースは?【料金や評判も大公開!】

今すぐ14日間無料体験

スタサプ公式サイトにアクセス

悩んでる人

波の式の作り方がわからない
・式がどうやって作られているかわからない
・そもそも波の式って

波動の範囲って、イメージがつきにくいせいか、苦手な人が多い分野ですよね。

特に、波の式に関しては、符号がわかりづらくて難しく感じてしまいがちです。

しかし、波の式はたった3ステップで簡単に作ることができてしまうのです!

そこで今回は、参考書よりも詳しくしかもわかりやすく波の式の作り方について、話していきます。

✔この記事の内容
・波の式の作り方はたった3ステップ
・y-xグラフから波の式を作る方法!

y-xグラフから波の式の作り方

そもそも、物理の世界では、波の表し方は2つあります!

【波の表し方】
➀横軸が\(x\)のグラフ(\(y-x\))グラフ
➁横軸が\(t\)のグラフ(\(y-t\))グラフ

波の式を立てるに必要なのは、横軸が\(t\)のグラフである(\(y-t\))グラフですので、(\(y-x\))グラフが与えられたときは、(\(y-t\))グラフに書き換えていく必要があります。

そして、冒頭でも話した通り、波の式は3ステップで作ることができます。

波の式の作り方!

(\(y-x\))グラフは(\(y-t\))グラフに書き換える!
➁ある1点の単振動を時間の関数で表す
➂➁が位置\(x\)に届くのにどれくらいかかるか考える

それでは、実際に例題を見ていきましょう。

例題

\(t=0\)における媒質の単振動が上のように与えられたときの、時刻\(t\)における変位\(y\)を表す式を波長\(\lambda\)、周期\(T\)を用いて表せ。ただし、波は\(x\)軸正方向に\(v\)で進行するものとする。

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう!自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります!

(\(y-x\))グラフは(\(y-t\))グラフに書き換える!

さて、波の式を作るには、(\(y-x\))グラフは(\(y-t\))グラフに書き換える必要があります。

(\(y-x\))グラフは、ある時間における『波の写真を表しています。

悩んでる人

どういうことですか?

少し、海を思い浮かべてごらん!

塾長

海には、海岸と海がありますが、この写真を横から見た図が、(\(y-x\))グラフなのです。

なるほど!(\(y-x\))グラフは、ある時間の波の写真ってことがよくわかりました!

じゃあ、波は1秒後にどこにくるかな?

塾長

波の進行方向に対して、時間を少し進めた図を描いてみると、\(x=0\)(海岸と海の境目)では、波が沈みこむことがわかります。

・\(x=0\)の場所の波は、\(t=0\)では\(y=0\)の場所にある
・時間がたつと、\(x=0\)の場所では、波が\(y<0\)に沈み込む



以上のことから、\(x=0\)における波の時間変化の図(y-t)グラフは、以下のように書くことができます!

あ!(\(y-x\))グラフが(\(y-t\))グラフに書き換わりました!

(\(y-x\))グラフを少しずらして、\(x=0\)の波の変化を見ながら、(\(y-t\))グラフをかけばOKだよ!

塾長

ココがポイント

\((y-x)\)グラフは、少しずらして\(x=0\)における波の変化をみながら、\((y-t)\)グラフに書き換えよ!



➁ある1点の単振動を時間の関数で表す

今回の波は、➀の作業で、\(x=0\)における波の変化に書きかえました!


の形は、振幅がAのマイナスsin関数なので、グラフから\(x=0\)における時刻\(t\)の波の変位は

$$y(0,t)=-Asin\omega t・・・➀$$

と書くことができます。



➂➁が位置\(x\)に届くのにどれくらいかかるか考える

さて、いよいよ最後のステップです。

最後は、➁が位置\(x\)に届くのにどれくらいかかるか考えていきます



\(x=0\)で発生した波と同じ高さの波が、\(x=x\)に来るまでにかかる時間は、道のり÷速さで

$$\frac{x-0}{v}=\frac{x}{v}$$

となります。

座標の距離を出すには、2点の座標の(大ー小)をすればいいから、道のりは\(x-0\)になるよ!

塾長

つまり、位置\(x\)に、時刻\(t\)に届く波の高さは、\(x=0\)において、時刻\(t-\frac{x}{v}\)に発生した、波と高さが等しくなります!

そして、言葉の通りに式にすると、

$$y(x,t)=y(0,t-\frac{x}{v})・・・➁$$
(位置\(x\)に、時刻\(t\)に届く波の高さ)
=(\(x=0\)において時刻\(t-\frac{x}{v}\)に発生した波と高さ)

となります。

➀の式と➁の式を見比べて、

$$y(0,t)=-Asin\omega t・・・➀$$$$y(0,t-\frac{x}{v})=-Asin\omega (t-\frac{x}{v})$$$$=-Asin2\pi (\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})・・・答え$$

となります。

最後の式変形では、\(\omega=\frac{2\pi}{T}\)を代入しているよ!

塾長

【おまけ】波が負の方向に進行するy-xグラフ

最後に、上のy-xグラフから、波の式を立ててみよう!
波は、さっきの問題とは逆方向に、速さ\(v\)で進むよ!

塾長

※いつも通り、まずは自分で考えてみましょう!自分で解くことで、『解くうえで何が足りないのか』が明確になります!



まずは、(\(y-x\))グラフを(\(y-t\))グラフに書き換えていこう!

(\(y-x\))グラフを進行方向(今回は負の方向)にずらすと、\(x=0\)における波の動きは、上に昇ってくるので、\((y-t)\)グラフは、以下のように描けます!

今回のの形は前回とは違い、振幅がAのcos関数なので、グラフから\(x=0\)における時刻\(t\)の波の変位は

$$y(0,t)=-Acos\omega t・・・➀$$

と書くことができます。

今回、波は左向きに移動しているので、\(x=0\)の場所から任意の位置\(x\)に到着するのに、

$$\frac{0-x}{v}$$$$=-\frac{x}{v}$$

かかります。

さて、位置\(x\)に届くには、t秒よりも\(t-\frac{0-x}{v}\)秒前に、出発しなくてはいけないから、この言葉を式にすると、

$$y(x,t)=y(0,t-\frac{0-x}{v})・・・➁$$
(位置\(x\)に、時刻\(t\)に届く波の高さ)
=(\(x=0\)において時刻\(t-\frac{0-x}{v}\)に発生した波と高さ)

➀の式と➁の式を見比べて、

$$y(0,t)=-Acos\omega t・・・➀$$$$y(0,t-\frac{0-x}{v})=-Acos\omega (t-\frac{0-x}{v})$$$$=-Acos\omega (t+\frac{x}{v})$$$$=-Acos2\pi (\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda})・・・答え$$

となります。

そろそろ慣れてきたかな??

塾長



まとめ:波の式を自由自在に書き換えられるようにしよう!

今回は、\(y-x\)グラフからの波の式の作り方について話してきました。

波の式は、以下の3ステップで作ることができましたね。

波の式の作り方!

(\(y-x\))グラフは(\(y-t\))グラフに書き換える
➁ある1点の単振動を時間の関数で表す
➂➁が位置\(x\)に届くのにどれくらいかかるか考える

大切なのは、『どの波のグラフが与えられても、上の3ステップで完結する』ということです。

何度も読み込んで、自分で波の式を立てられるようにしておきましょう。

 

  • この記事を書いた人
  • 最新記事

しばけん

現役時代センター試験60点台。浪人中予備校に通い神授業に出会う。旧帝大模試で物理偏差値65を叩き出し、その経験を活かして現在は塾で中学生や高校生に数学や物理を指導中。

-導出, 波動, 物理